高等数学(二)复习指导-第10章曲线积分与曲面积分

高等数学（二）复习指导第十章曲线积分与曲面积分第十章曲线积分与曲面积分一、基本要求及重点、难点1.基本要求(1)了解第一类曲线积分（即对弧长的曲线积分）的概念及其物理与几何意义，并掌握其计算方法。(2)了解第二类曲线积分（即对坐标的曲线积分）的概念及物理意义，并掌握其计算方法，能熟练应用曲线积分计算力场沿曲线所做的功。(3)掌握格林公式的条件和结论，熟练掌握利用格林公式把第二类曲线积分化为二重积分的计算方法，及掌握通过添加辅助曲面利用格林公式改变积分路径的计算方法。(4)掌握在单连通区域上第二类曲线积分与路径无关的等价条件及其应用，会求全微分的原函数。(5)了解第一类曲面积分（即对面积的曲线积分）的概念及其物理与几何意义，并掌握其计算方法。(6)掌握高斯公式的条件与结论，并会利用高斯公式计算第二类曲面积分。2.重点及难点（1）重点：(a)熟练选择适当的参数方程或坐标系将曲线积分化为定积分。(b)熟练掌握用投影法将曲面积分化为二重积分。(c)格林公式（熟练使用格林公式计算曲线积分）。(d)曲线积分与路径无关的概念及条件。(e)高斯公式（熟练使用高斯公式计算曲面积分）。（2）难点：(a)两类曲线积分的关系。(b)格林公式的灵活使用（条件、结论；辅助曲线的添加）。(c)高斯公式的灵活使用（条件、结论；辅助曲面的添加）。二、内容概述1、曲线积分的基本概念与性质(1)对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分）定义设(,)fxy在xOy面内的光滑曲线L上有界.第一类曲线积分为01(,)lim(,)niiiLifxydsfs(见课本).为空间曲线时，类似地有高等数学学习指导01(,,)lim(,,)niiiiifxyzdsfs.物理意义设曲线L的线密度为(,)xy，则其质量为(,)LMxyds性质1运算性质(,)(,)(,)(,)LLLfxygxydsfxydsgxyds(,)(,)LLkfxydskfxyds其中k为常数．性质2对弧长的曲线积分与积分路径的走向无关，即LLdsyxfdsyxf),(),(．性质3对积分路径具有可加性，即12(,)(,)(,)(,)kLLLLfxydsfxydsfxydsfxyds其中12kLLLL．(2)对坐标的曲线积分（又称第二类曲线积分）定义设(,),(,)PxyQxy在xOy面内的有向光滑曲线L上有界.(,)(,)LPxydxQxydy01lim(,)(,)niiiiiiiPxQy．为空间曲线时，类似地有(,,)(,,)(,,)PxyzdxQxyzdyRxyzdz01lim(,,)(,,)(,,)niiiiiiiiiiiiiPxQyRz.物理意义变力(,)(,)FPxyiQxyj沿曲线L所作的功为(,)(,)LWPxydxQxydy．性质1对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关，即LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(．性质2对积分路径具有可加性，即1(,)(,)(,)(,)LLPxydxQxydyPxydxQxydy高等数学（二）复习指导第十章曲线积分与曲面积分2(,)(,)(,)(,)kLLPxydxQxydyPxydxQxydy其中kLLLL21．（3）两类曲线积分之间的关系平面曲线L上两类曲线积分有如下关系(,)(,)LPxydxQxydy[(,)cos(,)cos]LPxyQxyds其中),(),,(yxyx为平面有向曲线L上点),(yx处的切线向量的方向角．空间曲线上两类曲线积分有如下关系(,,)(,,)(,,)PxyzdxQxyzdyRxyzdz[(,,)cos(,,)cos(,,)cos]PxyzQxyzRxyzds其中(,,),(,,),(,,)xyzxyzxyz为空间有向曲线上点(,,)xyz处切向量的方向角．2、曲线积分的计算公式(1)对弧长的曲线积分（1）设函数(,)fxy在平面曲线:(t),(t),Lxyt上连续(),()tt在区间,上连续，且22()()0tt，则22(,)(),()()()Lfxydsfttttdt（2）设平面曲线L的方程为)(),(bxaxyy且)(xy在区间ba,上连续，则2(,),()1()bLafxydsfxyxyxdx（3）设函数),,(zyxf在空间曲线:(),(),xtyt),(tz(t)上连续，(),(),()ttt在区间,上连续，且22()()tt2()0t，则(,,)fxyzds222(),(),()()()()fttttttdt注意化对弧长的曲线积分为定积分时,定积分的上限一定比下限大．（2）对坐标的曲线积分(1)设函数),(),,(yxQyxP在有向曲线L上连续，L的参数方程为:),(),(tytx:t，即为有向曲线L的始点对应的参数值，为其终点对应的参数值．且)(),(tt在以,高等数学学习指导为端点的区间上连续，22()()0tt，则(,)(,)LPxydxQxydy((),())()((),())()PtttQtttdt(2)若L是由方程()yx给出,L的始点的横坐标为a,终点的横坐标为b,)(x具有一阶连续导数,则(,)(,)LPxydxQxydy(,())(,())()baPxxQxxxdx(3)类似地,对于空间曲线:(),(),()xtytzt(,,)(,,)(,,)PxyzdxQxyzdyRxyzdz(),(),()()(),(),()()PttttdtQttttdt(),(),()()Rttttdt为有向曲线的始点对应的参数值，为其终点对应的参数值．（3）二元函数的全微分求积设函数),(yxP,),(yxQ在单连通域G内有连续的一阶偏导数,且xQyP，则QdyPdx在G内为某一函数),(yxu的全微分，且有000(,)(,)(,)xyxyuxyPxydxQxydy，(如图(a))或dxyxPdyyxQyxuxxyy000),(),(),(，(如图(b))．3、曲线积分的有关定理定理1(格林公式)设闭区域D是由分段光滑的曲线L围成,函数),(),,(yxQyxP在D上具有连续的一阶偏导数，则有dxdyyPxQQdyPdxLDOOx图(a)y),(00yxA),(0yxB),(yxC图(b)xy),(00yxA),(0yxB),(yxC高等数学（二）复习指导第十章曲线积分与曲面积分其中L是D的取正向的边界曲线．定理2(平面上曲线积分与路径无关的条件)设函数),(yxP,),(yxQ在单连通域G内有连续的一阶偏导数,则以下四个条件等价①LPdxQdy与路径无关,即LPdxQdy1LPdxQdy,其中L、1L为G内具有相同始点和终点任意曲线；②LQdyPdx0,其中L为G内的任意闭曲线;③PQyx在G内恒成立;④(,)PdxQdyduxy,即PdxQdy在G内为某一函数(,)uxy的全微分．4、曲面积分的基本概念与性质（1）对面积的曲面积分（又称第一类曲面积分）定义设(,,)fxyz在光滑曲面上有界.01(,,)lim(,,)niiiiifxyzdSfS(极限存在时)．物理意义设曲面的面密度为(,,)xyz，则其质量为(,,)MxyzdS．性质设曲面12,(1,2,,)kiik都是光滑的,则12(,,)(,,)(,,)fxyzdSfxyzdSfxyzdS(,,)kfxyzdS（2）对坐标的曲面积分（又称第二类曲面积分）指定了侧的曲面称为有向曲面．定义设(,,),(,,),(,,)PxyzQxyzRxyz在有向光滑曲面上有界.01(,,)lim(,,)()niiiiyziPxyzdydzPS(极限存在时)01(,,)lim(,,)()niiiizxiQxyzdzdxQS(极限存在时)高等数学学习指导01(,,)lim(,,)()niiiixyiRxyzdxdyRS(极限存在时)其中(,,)iii是任意分割有向曲面为n片小曲面后,所得到的第i片小曲面iS上的任意一点,(),(),()ixyiyzizxSSS分别为iS在三个坐标面上的投影.为n片小曲面iS(1,2,)in的直径中的最大者．曲面在点(,,)iii处的单位法向量为coscoscosiiinijk()cos,()cos,()cos.iyziiizxiiixyiiSSSSSS物理意义稳定流动的不可压缩的流体（密度1），如果在点),,(zyx处的流速是(,,)(,,)(,,)vPxyziQxyzjRxyzk,则单位时间内流过曲面一侧的流量为PdydzQdzdxRdxdy．性质1设曲面12,k则1PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy2.kPdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy性质2设表示与取相反侧的有向曲面，则PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy（3）两类曲面积分之间的关系空间曲面上的两类曲面积分有如下关系(coscoscos)PdydzQdzdxRdxdyPQRdS其中cos,cos,cos是有向曲面上点(,,)xyz处的法向量的方向余弦．5、曲面积分的计算公式（1）对面积的曲面积分设光滑曲面的方程是),,(yxzz在坐标面xoy上的投影区域为xyD，则高等数学（二）复习指导第十章曲线积分与曲面积分(,,)fxyzdS22,,(,)1xyxyDfxyzxyzzdxdy设光滑曲面的方程是),,(zxyy在坐标面xoz上的投影区域为xzD，则(,,)fxyzdS22,(,),1xzxzDfxyxzzyydxdz设光滑曲面的方程是),,(zyxx在坐标面yoz上的投影区域为yzD，则(,,)fxyzdS22(,),,1yzyzDfxyzyzxxdydz（2）对坐标的曲面积分设光滑曲面的方程是),,(yxzz在坐标面xoy上的投影区域为xyD，取上（下）侧，则(,,),,(,)xyDRxyzdxdyRxyzxydxdy其中，取上侧时为正，取下侧时为负．注意当曲面是母线平行于z轴的柱面0),(yxF时，上任意一点的法向量与z轴的夹角的余弦coscos02，则(,,)0Rxyzdxdy．设光滑曲面的方程是),,(zxyy在坐标面xoz上的投影区域为xzD，则(,,)Qxyzdzdx,(,),xzDQxyxzzdzdx取右侧时为正，取左侧为负．设光滑曲面的方程是(,),xxyz在坐标面yoz上的投影区域为yzD，则(,,)Pxyzdydz(,),,yzDPxyzyzdydz取前侧时为正，取后侧为负．6