高等数学(同济第六版)D8_4.

四、二次曲面第三节一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面曲面及其方程第八章定义1.如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,一、曲面方程的概念故所求方程为例1.求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:设轨迹上动点为即依题意距离为R的轨迹表示上(下)球面.定义2.一条平面曲线二、旋转曲面绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.旋转曲线和定直线称为旋转曲面的母线和旋转轴.:0),(:轴旋转的旋转曲面绕曲线zzyfC:0),(:轴旋转的旋转曲面绕曲线yzyfC:0),(:轴旋转的旋转曲面绕曲线xyxfC:0),(:轴旋转的旋转曲面绕曲线zzxfC其余依此类推..0),(22zyxf.0),(22zxyf.0),(22zyxf.0),(22zyxf例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L的方程为绕z轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方定义3.平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线.C叫做准线,l叫做母线.222Ryx表示圆柱面.xyzl1M一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x轴;平行于y轴;平行于z轴;准线xoz面上的曲线l3.母线柱面,准线xoy面上的曲线l1.母线准线yoz面上的曲线l2.母线四、二次曲面椭圆锥面的形成研究曲面的伸缩变形法平面图形的伸缩变形法.1.椭圆锥面,222222zaybax22222zbyax倍可得椭圆锥面轴方向伸缩沿把圆锥面abyzayx222222222zbyax2.椭球面得旋转椭球面椭球面的形成1222222czbyax　　122222czayx3.单叶双曲面单叶双曲面的形成得旋转单叶双曲面,12222轴旋转绕平面上的双曲线把zczaxxoz122222czayx4.双叶双曲面双叶双曲面的形成绕x轴旋转,得旋转双叶双曲面12222czaxzox平面上的双曲线把122222cyzax5.椭圆抛物面椭圆抛物面的形成得旋转抛物面,22轴旋转绕平面上的抛物线把zzaxzoxzayx2226.双曲抛物面双曲抛物面与平面xt的截痕l为平面xt上的抛物线截痕当t变化时l的形状不变位置只作平移而l的顶点的轨迹L为平面y0上的抛物线第八章一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影第四节空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线C.C表示上半球面与圆柱面的交线C.?)2()2(,222222表示什么曲线又如，方程组ayaxyxaz.2,)0,2(,)2()2(222的圆周的柱面为半径为中心面上以点准线是轴母线平行于表示　　aaxOyzayax)()()(tzztyytxx当给定1tt时，就得到曲线上的一个点),,(111zyx，随着参数的变化可得到曲线上的全部点.空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程动点从A点出发，经过t时间，运动到M点,AM在xoy面的投影)0,,(yxMtaxcostaysinvtz螺旋线的参数方程取时间t为参数，解:xyzo例2.将下列曲线化为参数方程表示:解:将第二方程变形为故所求为三、空间曲线在坐标面上的投影投影柱面与xOy面的交线叫做曲线C在xOy面上的投影曲线,或简称投影.类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影.投影柱面与投影(曲线)以空间曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面.投影柱面投影曲线投影(曲线)的确定设空间曲线C的一般方程为方程组中的两个方程消去变量z后可得一个关于x,y的方程H(xy)0曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为三、空间曲线在坐标面上的投影这就是曲线C关于xOy面的投影柱面的方程.投影柱面投影曲线消去x得C在yoz面上的投影曲线方程消去y得C在zox面上的投影曲线方程投影曲线的研究过程空间曲线投影柱面投影曲线例3.已知两球面的方程为x2+y2+z2=1和x2+(y-1)2+(z-1)2=1求它们的交线C在xOy面上的投影方程.解：x2y2z22y2z1将x2y2z21代入得12y2z1即yz1.将z1y代入方程x2y2z21得x2y2(1y)21即x22y22y0.方程x2(y1)2(z1)21化为两球面的交线C在xOy面上的投影方程为这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程.空间立体曲面补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影例如,所围的立体在xoy面上的投影区域为:上半球面和锥面在xoy面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy面上的投影曲线所围之域.第八章一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影第四节空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线C.C)()()(tzztyytxx当给定1tt时，就得到曲线上的一个点),,(111zyx，随着参数的变化可得到曲线上的全部点.空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影投影柱面与xOy面的交线叫做曲线C在xOy面上的投影曲线,或简称投影.类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影.投影柱面与投影(曲线)以空间曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面.投影柱面投影曲线投影(曲线)的确定设空间曲线C的一般方程为方程组中的两个方程消去变量z后可得一个关于x,y的方程H(xy)0曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为三、空间曲线在坐标面上的投影这就是曲线C关于xOy面的投影柱面的方程.投影柱面投影曲线消去x得C在yoz面上的投影曲线方程消去y得C在zox面上的投影曲线方程内容小结空间曲线三元方程组或参数方程求投影曲线(如,圆柱螺线)思考与练习P37题1，2，7（展示空间图形）P37题1(2)(1)答案:(3)P37题2(1)思考:交线情况如何?交线情况如何?P37题2(2)P37题7备用题求曲线绕z轴旋转的曲面与平面的交线在xoy平面的投影曲线方程.解：旋转曲面方程为交线为此曲线向xoy面的投影柱面方程为此曲线在xoy面上的投影曲线方程为,它与所给平面的思考题,22222zxzxy交线方程为消去z得投影柱面,122yx在面上的投影为xoy.0122zyx思考题解答指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？;2)1(x;4)2(22yx.1)3(xy思考题平面解析几何中空间解析几何中2x422yx1xy平行于y轴的直线平行于yoz面的平面圆心在)0,0(，半径为2的圆以z轴为中心轴的圆柱面斜率为1的直线平行于z轴的平面方程思考题解答