高等数学第六版(同济版)第六章复习资料

1第六章定积分的应用引入：前面学习了定积分的理论，这一章要应用这些理论来分析和解决一些实际问题中出现的量.用定积分计算这些量，必须把它们表示成定积分，先介绍将所求量表示成定积分的方法——元素法.第一节定积分的元素法我们先用定积分的引例——曲边梯形的面积，引出元素以及元素法的概念：一、元素及元素法1.元素：由连续曲线)0)(()(xfxfy与直线bxax、以及x轴所围成的曲边梯形的面积为：niiAA1niiixf1)(niiixdf1)(baxdxf)(.(由微分知识得iixdx)，称xdxf)(为面积元素或面积微元,记为xdxfdA)(.2.元素法：用元素法将所求量表示成定积分的方法，称为元素法.由此可知，曲边梯形的面积是将面积微元累加得到的.下面我们通过曲边梯形的面积来总结出实际问题中所求的量能用定积分表示的条件：二、用元素法将所求量能表示成定积分的条件：(设所求量为U)1．量U与变量x的所在区间],[ba有关;2．量U对于区间],[ba具有可加性；3．量U的部分量有近似值，即iiixfU)(.三、用元素法将所求量能表示成定积分的步骤：1．由实际情况选一变量如x为积分变量，确定该其变化区间],[ba.2．分],[ba为n个小区间，取其中一个小区间],[xdxx，计算其上的部分量U的近似值：xdxfUd)(，的所求量的一个元素.3．以xdxfUd)(为被积表达式，在],[ba上作定积分，即得所求量的定积分表达式：baxdxfU)(.注：元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等.内容小结：本节介绍了元素法以及用元素法将所求量表示成定积分的方法与步骤.第二节定积分在几何上的应用一、平面图形的面积21.直角坐标情形:曲线)0)((xfy与直线)(babxax、及x轴所围成的曲边梯形面积为xdxfAba)(，因为面积元素为xdxfAd)(.2.参数方程情形：若曲线],[,)0)(()(baxxfxfy的参数方程为)()(tytx，且满足(1).a)(,b)(;(2).)(tx在],[或],[上具有连续导数，且)(ty连续，则由曲线)(xfy所围成的曲边图形的面积为：xdxfAba)(tdtt)(')(.3.极坐标情形：设曲线的极坐标方程为]),[,0)(()(，且)(在],[上连续，则由曲线)(与射线以及所围成图形的面积为dA)(212.由于当在],[上变动时，极径)(也随之变动，故不能直接利用扇形面积公式221RA来计算.推导：①.取极角为积分变量，],[.②.在],[上任取一小区间],[d，其上的曲边扇形面积的近似值：dAd2)(21.③.以d2)(21为被积表达式，在],[上作定积分，得曲边扇形的面积公式：dA)(212.例1.计算两条抛物线22xyxy、在第一象限所围所围图形的面积.解：首先确定图形的范围，由22xyxy得交点)0,0(、)1,1(，取x为积分变量，由于面积元素xdxxAd2，所以所求面积为102xdxxA103233132xx31.3注：10xdxA102xdx102xdxx.例2.计算抛物线xy22与直线4xy所围图形的面积.解：由422xyxy得交点)2,2(、)4,8(，若取x为积分变量，则有8220)]4(2[22xdxxxdxA822238223421322324xxxx18.若取y为积分变量，则有18642248232422yyyydyyA.例3.求椭圆12222byax所围图形的面积.解：由于椭圆关于两个坐标轴对称，设椭圆在第一象限所围成的面积为1A，则所求面积为xdyAAa0144.设π)20(sincosttbytax，当0x时，2t，当ax时，0t，且tdtaxdsin，于是tdtatbxdyAa)sin(sin4402/0tdtab2/02sin4tdtsab2/022cos14baπ.例4.计算阿基米德螺线)0(aa对应从0变到2所围图形面积.解：由题可知，积分变量],[，于是所求面积为daA202)(211032312a23π34a.例5.计算心形线)0()cos1(aa所围图形的面积.解：心形线所围成的图形关于极轴对称,设极轴上半部分图形的面积为1A，则心形线所围成的图形面积为12A.取极角为积分变量，],[，于是4022)cos1(212daA022)cos2cos1(da02cos22cos2123da2π23a.二、体积1．旋转体的体积：(1).旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体，该直线称为旋转轴.注：圆柱体、圆台、球体等都是旋转体，它们都可以看做是由连续曲线)(xfy与直线ax、bx以及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所围成的立体.(2).旋转体的体积：①．由曲线)(xfy与直线ax、bx以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转而成的旋转体的体积：)()]([2baxdxfVba.推导：取x为积分变量，],[bax，在],[ba上任取一小区间],[xxx，其上的窄曲边梯形绕x轴旋转而成的薄层的体积近似等于以)(xf为底面半径、以xd为高的扁圆柱体的体积，即体积元素为xdxfVd2)]([，以xdxf2)]([为被积表达式，在],[ba上作定积分即得所求旋转体的体积：)()]([2baxdxfVba.②．由曲线)(yx与直线cy、dy以及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积：)()]([2dcydyVdc.例6.连接坐标原点O及点),(rhP的直线、直线hx及x轴围成一个直角三角形，将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，求其体积.解：过)0,0(O及),(rhP的直线方程为：xhry.取x为积分变量，],0[hx，则所求旋转体的体积为hxdxhrV02hr231.例7.计算由椭圆12222byax所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积.解：该旋转椭球体可看做是由半椭圆与x轴所围成的绕x轴5旋转而成的立体，半椭圆方程为：22xaaby.取x为积分变量，],[aax，则所求立体体积为aaxdxaabV)(2222234ab.例8.计算由摆线)sin(ttax，)cos1(tay相应于20t的一拱，直线0y所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.解：记摆线绕x轴旋转而成的旋转体的体积为xV，取x为积分变量，],[aax，则axxdxyV202)(2022)cos1()cos1(tdtata20323)coscos3cos31(tdttta203)cos31(tdta203)12(cos23tdta2023)(sin)sin1(tdta325a.记摆线绕y轴旋转而成的旋转体的体积为yV，取y为积分变量，]2,0[ay，则aayydyxydyxV20212022)()(022222sin)sin(sin)sin(tdtattatdtatta0222sin)sin(tdtatta022sin)sin(tdtatta022sin)sin(tdtatta203223)sinsin2sin(tdttttta2023sintdtta203)2cos1(tdtta2023)(cos)cos1(tdta336a.2．平行截面面积为已知的立体的体积：设一非旋转体的立体介于过点ax、bx且垂直于x轴的两个平面之间，该立体过x轴上的点x且垂直于x轴的截面面积为)(xA，则该立体的体积为：badxxAV)(.推导：若)(xA为连续函数且已知，取x为积分变量，],[bax,在],[ba上任取一小区间6],[xdxx，其上的薄层的体积近似等于底面积为)(xA、高为xd的扁圆柱体的体积，即得体积元素：xdxAVd)(，以xdxA)(为被积表达式，在],[ba上作定积分，得所求立体的体积公式：badxxAV)(.例9.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆的中心，并与底面交成角，计算着平面截圆柱体所得立体的体积.解：取该平面与圆柱体的底面的交线为x轴，底面上过圆中心且垂直于x轴的直线为y轴，则底面圆方程为：222Ryx，该立体中过x轴上的点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形，两直角边分别为y和tany，即22xR和22tanxR，从而截面面积为tan)(21)(22xRxA，于是所求体积为RRxdxRVtan)(2122RxdxR022)(tantan223R.例4.求以半径为R的圆为底、以平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.解：取底面圆所在的平面为xoy平面，圆心o为原点，并使x轴与正劈锥体的顶平行，底面圆方程为：222Ryx，过x轴上的点]),[(baxx作垂直于x轴的平面截正劈锥体得等腰三角形，截面面积为22)(xRhyhxA，于是，所求正劈锥体的体积为RRxdxRhV22RxdxRh02222/022cos2dhR2/02)2cos1(dhR22hR.三、平面曲线的弧长引入：我们知道，用刘徽的割圆术可以定义圆的周长，即利用圆的内接正多边形的周长当边数无限增加时的极限来确定，现在将刘徽的割圆术加以推广，来定义平面曲线的弧长，从而应用定积分来计算平面曲线的弧长.1.平面曲线弧长的相关概念(1).平面曲线弧长：若在曲线弧BA上任取分点0MA，,,,,,121iiMMMM，BMMnn,1，7依次连接相邻分点得到该曲线弧的一内接折线，记|}{|max11iiniMM，若当分点的数目无限增加且每一个小弧段iiMM1都缩向一点，即0时，折线的长niiiMM11||的极限存在，则称此极限值为曲线弧BA的弧长，并称该曲线弧是可求长的，记作||lim10iiMMs.(2).光滑曲线：若曲线上每一点处都存在切线，且切线随切点的移动而连续转动，则称该曲线为光滑曲线.(3).定理：光滑曲线可求长.2.光滑曲线弧长的计算(1).直角坐标情形：设曲线弧的直角坐标方程为)(xfy，bxa，若)(xf在],[ba上具有一阶连续函数，则曲线弧长为xdxfsba)(12.推导：取x为积分变量，曲线)(xfy上的相应于],[ba上任意小区间],[xdxx上的一段弧的长度近似等于曲线在点))(,(xfx处切线上相应的一段的长度，又切线上相应小段的长度为xdxfydxd222))('(1)()(，从而有弧长元素xdxfsd2))('(1，以xdxf2))('(1为被积表达式，在],[ba上作定积分，得弧长公式：xdxfsba)(12.(2).参数方程情形：设曲线弧的参数方程为)()(tytx，t，若)(t及)(t在],[上具有连续导数，则曲线弧长为tdtts)()(22.推导：取参数t为积分变量，曲线上相应于],[上任意小区间]