高考和自主招生物理模拟压轴题

高考、自主招生、竞赛物理模拟压轴题1、有一半径为a、高为4a、重为G0的两端开口的薄壁圆筒，现将筒竖放在光滑的水平面上，之后将半径为r，重为G的两个完全相同的光滑圆球放入筒内而呈叠放状态，如图所示。当a＜2r＜2a时，试求使圆筒不翻倒的条件。解：A、B球和圆筒的受力如图所示，由几何关系可得：rracos………①对A球，由∑F=0得：21NcosN………②GsinN1…………③对圆筒：由∑F=0得：223NNN……④以C为轴，刚好不翻转的条件是筒的左端D处恰好无压力，由∑M=0得：0)sinr2r(NrNaG230………⑤联立①②③④⑤解得：a)ra(2GG02、半径为R的半球固定在水平面上，其圆弧面光滑。在距球顶高h处的O点，固定绳的一端，长L的绳的另一端拴一重力G的小球，小球静置在半球面上（图7）。求小球对绳的拉力T和对半球的压力N。解析：把重力G分解，两分力分别沿绳的方向和沿球的半径方向（见原图）。虽然题中没有任何角度的条件，但边的条件很多。注意到G、T和N所构成的三角形与边长分别为（h+R）、L和R所构成的三角形相似，故有N1N/1N2N3GN/2N/3GG0N4ABθCD得，3、如图所示,一个质量为m的小球,从内壁为半球形的容器边缘点A滑下．设容器质量为m′,半径为R,内壁光滑,并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上．开始时小球和容器都处于静止状态．当小球沿内壁滑到容器底部的点B时,受到向上的支持力为多大？解析由于桌面无摩擦,容器可以在水平桌面上滑动,当小球沿容器内壁下滑时,容器在桌面上也要发生移动．将小球与容器视为系统,该系统在运动过程中沿水平桌面方向不受外力作用,系统在该方向上的动量守恒；若将小球、容器与地球视为系统,因系统无外力作用,而内力中重力是保守力,而支持力不作功,系统的机械能守恒．由两个守恒定律可解得小球和容器在惯性系中的速度．由于相对运动的存在,小球相对容器运动的轨迹是圆,而相对桌面运动的轨迹就不再是圆了,因此,在运用曲线运动中的法向动力学方程求解小球受力时,必须注意参考系的选择．若取容器为参考系(非惯性系),小球在此参考系中的轨迹仍是容器圆弧,其法向加速度可由此刻的速度(相对于容器速度)求得．在分析小球受力时,除重力和支持力外,还必须计及它所受的惯性力．小球位于容器的底部这一特殊位置时,容器的加速度为零,惯性力也为零．这样,由法向动力学方程求解小球所受的支持力就很容易了．若仍取地面为参考系(惯性系),虽然无需考虑惯性力,但是因小球的轨迹方程比较复杂,其曲率半径及法向加速度难以确定,使求解较为困难．根据水平方向动量守恒定律以及小球在下滑过程中机械能守恒定律可分别得0mmmmvv(1)mgRmmm222121vvv(2)式中vm、vm′分别表示小球、容器相对桌面的速度．由式(1)、(2)可得小球到达容器底部时小球、容器的速度大小分别为mmgRmm2vmmgRmmmm2v由于小球相对地面运动的轨迹比较复杂,为此,可改为以容器为参考系(非惯性系)．在容器底部时,小球相对容器的运动速度为gRmmmmmmmm2vvvvv(3)在容器底部,小球所受惯性力为零,其法向运动方程为RmmgFmN2v(4)由式(3)、(4)可得小球此时所受到的支持力为mmmgFN234、如图1所示：已知F=4N，m1=0.3kg，m2=0.2kg，两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2．求质量为m2的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮质量均不计）[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a2=2a1，而力的关系为T1=2T2．对两物体列运动方程得T2-μm2g=m2a2，F–T1–μm1g=m1a1．可以解得m2的加速度为12212(2)/22Fmmgamm=4.78(m·s-2)，绳对它的拉力为2112(/2)/22mTFmgmm=1.35(N)．5、地球质量为M，半径为R，自转角速度为ω，万有引力恒量为G，如果规定物体在离地球无穷远处势能为0，则质量为m的物体离地心距离为r时，具有的万有引力势能可表示为Ep=-GrMm.国际空间站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大气层上空地球飞行的一个巨大的人造天体，可供宇航员在其上居住和进行科学实验.设空间站离地面高度为h，如果在该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星，使其能到达地球同步卫星轨道并能在轨道上正常运行，则该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能？解析：由G2rMm=rmv2得，卫星在空间站上的动能为Ek=21mv2=G)(2hRMm。卫星在空间站上的引力势能在Ep=-GhRMm机械能为E1=Ek+Ep=-G)(2hRMmm2FT1a1m1T2a2f1f2图1同步卫星在轨道上正常运行时有G2rMm=mω2r故其轨道半径r=32MG由③式得，同步卫星的机械能E2=-GrMm2=-G2Mm32GM=-21m(3GM)2卫星在运行过程中机械能守恒，故离开航天飞机的卫星的机械能应为E2，设离开航天飞机时卫星的动能为Ekx，则Ekx=E2-Ep-2132GM+GhRMm6．如图所示，质量为m的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角θ）及线中的张力T．（1）小车沿水平线作匀速运动；（2）小车以加速度1a沿水平方向运动；（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成φ角；（4）用与斜面平行的加速度1b把小车沿斜面往上推（设b1=b）；[解答]（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力的作用，摆线偏角为零，线中张力为T=mg．（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于tanθ=ma/mg，所以θ=arctan(a/g)；绳子张力等于摆所受的拉力：2222()()Tmamgmag．（3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力，合力沿斜面向下，所以θ=φ；T=mgcosφ．（4）根据题意作力的矢量图，将竖直虚线延长，与水平辅助线相交，可得一直角三角形，θ角的对边是mbcosφ，邻边是mg+mbsinφ，由此可得：costansinmbmgmb，因此角度为cosarctansinbgb；而张力为图Tmgmaθ图2Tmgmaφ（3）Tmgmbφθφ（4）22()()2()()cos(/2)Tmbmgmbmgπ222sinmbgbg．7、如图甲所示，一粗糙斜面的倾角为37°，一物块m=5kg在斜面上，用F=50N的力沿斜面向上作用于物体，使物体沿斜面匀速上升，g取10N/kg，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：（1）物块与斜面间的动摩擦因数μ；（2）若将F改为水平向右推力F，如图乙，则至少要用多大的力F才能使物体沿斜面上升。（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）解析：（1）物体受力情况如图，取平行于斜面为x轴方向，垂直斜面为y轴方向，由物体匀速运动知物体受力平衡0sinfGFFx0cosGNFy解得f=20NN=40N因为NFN，由NFf得5.021Nf（2）物体受力情况如图，取平行于斜面为x轴方向，垂直斜面为y轴方向。当物体匀速上行时力F取最小。由平衡条件0sincosfGFFx0cossinGFNFy且有Nf联立上三式求解得NF1008如图8所示，物体A的质量m=0.5kg，静止于光滑斜面上．它与固定在斜面底B端的弹簧M相距s=3m．弹簧的倔强系数k=400N·m-1．斜面倾角为45°．求当物体A由静止下滑时，能使弹簧长度产生的最大压缩量是多大？[解答]取弹簧自然伸长处为重力势能和弹性势能的零势点，由于物体A和弹簧组成的系统只有保守力做功，所以机械能守恒，当弹簧压缩量最大时，可得方程21sinsin2mgsmgxkx，整理和一元二次方程21sinsin02kxmgxmgs，解得2sin(sin)2sinmgmgkmgxk=0.24(m)（取正根）．θ=45°ABs=3m图89、如图(a)所示,A和B两块板用一轻弹簧连接起来,它们的质量分别为m1和m2．问在A板上需加多大的压力,方可在力停止作用后,恰能使A在跳起来时B稍被提起．(设弹簧的劲度系数为k)解析运用守恒定律求解是解决力学问题最简捷的途径之一．因为它与过程的细节无关,也常常与特定力的细节无关．该题可用机械能守恒定律来解决．选取两块板、弹簧和地球为系统,该系统在外界所施压力撤除后(取作状态1),直到B板刚被提起(取作状态2),在这一过程中,系统不受外力作用,而内力中又只有保守力(重力和弹力)作功,支持力不作功,因此,满足机械能守恒的条件．只需取状态1和状态2,运用机械能守恒定律列出方程,并结合这两状态下受力的平衡,便可将所需压力求出．选取如图(b)所示坐标,取原点O处为重力势能和弹性势能零点．作各状态下物体的受力图．对A板而言,当施以外力F时,根据受力平衡有F1＝P1＋F(1)当外力撤除后,按分析中所选的系统,由机械能守恒定律可得2221212121mgykymgyky式中y1、y2为M、N两点对原点O的位移．因为F1＝ky1,F2＝ky2及P1＝m1g,上式可写为F1-F2＝2P1(2)由式(1)、(2)可得F＝P1＋F2(3)当A板跳到N点时,B板刚被提起,此时弹性力F′2＝P2,且F2＝F′2．由式(3)可得F＝P1＋P2＝(m1＋m2)g应注意,势能的零点位置是可以任意选取的．为计算方便起见,通常取弹簧原长时的弹性势能为零点,也同时为重力势能的零点．10、一质量为m＝3000kg的人造卫星在离地面的高度为H＝180km的高空绕地球作圆周运动，那里的重力加速度g＝9．3m·s－2．由于受到空气阻力的作用，在一年时间内，人造卫星的高度要下降△H＝0．50km．已知物体在密度为ρ的流体中以速度v运动时受到的阻力F可表示为F＝21ρACv2，式中A是物体的最大横截面积，C是拖曳系数，与物体的形状有关．当卫星在高空中运行时，可以认为卫星的拖曳系数C＝l，取卫星的最大横截面积A＝6．0m2．已知地球的半径为R0＝6400km．试由以上数据估算卫星所在处的大气密度．解：设一年前、后卫星的速度分别为1v、2v，根据万有引力定律和牛顿第二定律有21211MmGmRRv⑴22222MmGmRRv⑵式中G为万有引力恒量，M为地球的质量，1R和2R分别为一年前、后卫星的轨道半径，即10RRH⑶20RRHH⑷卫星在一年时间内动能的增量22k211122Emmvv⑸由⑴、⑵、⑸三式得k21111()2EGMmRR⑹由⑶、⑷、⑹式可知，k0E，表示在这过程中卫星的动能是增加的。在这过程中卫星引力势能的增量P2111()EGMmRR⑺P0E，表示在这过程中卫星引力势能是减小的。卫星机械能的增量kPEEE⑻由⑹、⑺、⑻式得21111()2EGMmRR⑼0E，表示在这过程中卫星的机械能是减少的。由⑶、⑷式可知，因1R、2R非常接近，利用12RRH⑽2121RRR⑾⑼式可表示为2112GMmEHR⑿卫星机械能减少是因为克服空气阻力做了功。卫星在沿半径为R的轨道运行一周过程中空气作用于卫星的阻力做的功212WFRACRv⒀根据万有引力定律和牛顿运动定律有22MmGmRRv⒁由⒀、⒁式得1WACGM⒂⒂式表明卫星在绕轨道运行一周过程中空气阻力做的功是一恒量，与轨道半径无关。卫星绕半径为R的轨道运行一周经历的时间2RTv⒃由⒁、⒃式得2RTRGM⒄由于在一年时间内轨道半径变化不大，可以认为T是恒量，且112RTRGM⒅以表示一年时间，有73600s365243.1510s⒆卫星在一年时间内做圆周运动的次数