高考第一轮复习——函数的奇偶性、单调性、周期性(理)

第1页版权所有不得复制年级高三学科数学（理）版本人教版（理）内容标题函数的奇偶性、单调性、周期性编稿老师刘震【本讲教育信息】一.教学内容：函数的奇偶性、单调性、周期性二.教学重、难点：了解函数奇偶性、单调性、周期性的概念，了解周期函数最小正周期的意义，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法，能利用函数的单调性解决函数的有关问题。【典型例题】[例1]定义在R上的函数)(xf满足对任意Ryx、恒有)()()(yfxfxyf，且)(xf不恒为0。（1）求)1(f和)1(f的值；（2）试判断)(xf的奇偶性，并加以证明；（3）若0x时)(xf为增函数，求满足不等式0)2()1(xfxf的x的取值集合。解析：（1）令1yx，得)1()1()1(fff∴0)1(f令1yx，得)1()1()1(fff∴0)1(f（2）令1y，由)()()(yfxfxyf，得)1()()(fxfxf又0)1(f∴)()(xfxf又∵)(xf不恒为0∴)(xf为偶函数（3）由0)2()1(xfxf知)2()1(xfxf又由（2）知|)(|)(xfxf∴)2()1(xfxf又∵)(xf在),0[上为增函数第2页版权所有不得复制∴xx21故x的取值集合为}21|{xx[例2]设函数)(xf在),(上满足)2()2(xfxf，)7()7(xfxf，且在闭区间[0，7]上，只有0)3()1(ff。（1）试判断函数)(xfy的奇偶性；（2）试求方程0)(xf在闭区间]2005,2005[上的根的个数，并证明你的结论。解析：（1）由)2()2(xfxf，得函数)(xfy的对称轴为2x∴)5()1(ff而)1()1(0)5(fff，即)(xf不是偶函数又∵)(xf在[0，7]上只有0)3()1(ff∴0)0(f从而知函数)(xfy不是奇函数故函数)(xfy是非奇非偶函数（2）)7()7()2()2(xfxfxfxf)14()4()14()()4()(xfxfxfxfxfxf)10()(xfxf从而知函数)(xfy的周期为T=10又0)1()3(ff∴0)9()7()13()11(ffff故)(xf在[0，10]和]0,10[上均有2个根，从而可知函数)(xfy在[0，2000]上有400个根，在[2000，2005]上有2个根，在]0,2000[上有400个根，在]2000,2005[上没有根。∴函数)(xfy在]2005,2005[上有802个根。第3页版权所有不得复制[例3]函数)(xfy是以4为周期的周期函数，且当]2,2[x时，12)(xxf，则当)42,2[nnx时，试求)(xf的解析式。解析：因为)(xfy是以4为周期的函数，所以，（1）当n为奇数时，)1(222nn为4的倍数。当)42,2[nnx时，)2,2[22nx，所以1222)22(nxnxf，于是有)22()(nxfxfnxnx21222。（2）当n为偶数时，可以知道42,2nn为4的倍数，当)22,2[nnx时，有)2,0[2nx，于是122)2(nxnxf从而有122)2()(nxnxxf2x1n当)42,22[nnx时，有)0,2[42nx于是有1242)42(nxnxf，所以1242)42()(nxnxfxf12nx综合（1）（2）可以得到：当n为奇数时，nxxf2)(，)42,2[nnx当n为偶数时，)42,22[,12)22,2[,12)(nnxnxnnxnxxf[例4]定义在R上的函数)(xfy，0)0(f，当0x时，1)(xf，且对任意的Rba,，有)()()(bfafbaf。（1）证明1)0(f；（2）证明对任意的Rx，恒有0)(xf；（3）证明)(xf是R上的增函数；（4）若1)2()(2xxfxf，求x的取值范围。第4页版权所有不得复制解析：（1）证明：令0ba，则)0()0(2ff又0)0(f∴1)0(f（2）证明：当0x时，0x∴1)()()0(xfxff∴0)(1)(xfxf又0x时01)(xf∴Rx时恒有0)(xf（3）证明：设21xx，则012xx∴)()()()(1121122xfxxfxxxfxf∵012xx∴1)(12xxf又0)(1xf∴)()()(1112xfxfxxf∴)()(12xfxf∴)(xf是R上的增函数（4）由1)2()(2xxfxf，1)0(f，得)0()3(2fxxf又)(xf是R上的增函数∴032xx∴30x[例5]已知函数axexxf2)(，其中0a，e为自然对数的底数。（1）讨论函数)(xf的单调性；（2）求函数)(xf在区间[0，1]上的最大值。解析：（1）axeaxxxf)2()(①当0a时，令0)(xf，得0x若0x，则0)(xf，从而)(xf在（0，+）上单调递增若0x，则0)(xf，从而)(xf在（0,）上单调递减②当a0时，令0)(xf，得0)2(axx，故0x或ax2若0x，则0)(xf，从而)(xf在（0,）上单调递减第5页版权所有不得复制若ax20，则0)(xf，从而)(xf在（0，a2）上单调递增若ax2，则0)(xf，从而)(xf在（,2a）上单调递减（2）①当0a时，)(xf在区间]1,0[上的最大值是)1(f1②当02a时，)(xf在区间[0，1]上的最大值是aef)1(③当2a时，)(xf在区间[0，1]上的最大值是224)2(eaaf[例6]是否存在常数Rk，使函数)2()(4kxxf)2(2kx在]1,(上是减函数且在)0,1[上是增函数？解：方法一：设2xt，则原函数转化为)2()2()()(2ktktthxf那么问题就等价于是否存在常数Rk，使函数)2()2()(2ktktth在]1,0(上是减函数且在),1[上是增函数，根据二次函数的性质，知只需122k，即4k。方法二：由题意知1x为函数)(xf的一个极值点∵xkxxf)2(24)(3由0)1(f，得4k，此时，)1)(1(444)(3xxxxxxf故当)1,(x时，0)(xf，)(xf为减函数；当)0,1(x时，0)(xf，)(xf为增函数∴4k适合题意方法三：任取121xx，则))(2()()(2122414221xxkxxxfxf)2)((21222122kxxxx)2)()((21221221kxxxxxx由)(xf在]1,(上是减函数可知，对任意的121xx，0)()(21xfxf恒成立∴有022122kxx恒成立，即22122xxk恒成立第6页版权所有不得复制121xx∴421122122xx因此，当4k时，0)()(21xfxf恒成立，即当4k时，函数)(xf在]1,(上是减函数仿上可得当4k时，函数)(xf在)0,1[上是增函数故存在常数4k，使函数)2()2()(24kxkxxf在]1,(上是减函数，且在)0,1[上是增函数[例7]设函数)(2131)(23Rbabxaxxxg、的图象上一点P（yx,）处切线的斜率为)(xf。（1）若方程0)(xf有两个实根分别为、，且1，求证：)1(41)(2aaf（2）若)(xg在区间]3,1[上是单调递减函数，求22ba的最小值。分析：根据导数的几何意义知baxxxgxf2)()(（1）证明：由已知得、是方程02baxx的两个实根根据韦达定理得babbaaaf22)(又∵1∴ba)1(12∴)1(412ab∴)1(41)(2aaf（2）解：)(xg在区间[]3,1上是单调递减函数∴在]3,1[上恒有0)()(xgxf，即02baxx恒成立从而9310)3(0)1(abbaff第7页版权所有不得复制当32ba时，22ba的最小值为13【模拟试题】（答题时间：50分钟）一.选择题：1.已知函数)(xfy是一个以4为最小正周期的奇函数，则)2(f等于（）A.0B.4C.4D.不能确定2.设函数)(xf是定义在R上，周期为3的奇函数，若112)2(,1)1(aaff，则（）A.21a且1aB.01aC.1a或0aD.21a3.设)()(xgxf、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当0x时，)()(xgxf0)()(xgxf，且0)3(g，则不等式0)()(xgxf的解集是（）A.),3()0,3(B.)3,0()0,3(C.),3()3,(D.)3,0()3,(4.设)(xf是定义在R上以6为周期的函数，)(xf在（0，3）内单调递减，且)(xfy的图象关于直线3x对称，则下面正确的结论是（）A.)5.6()5.3()5.1(fffB.)5.6()5.1()5.3(fffC.)5.1()5.3()5.6(fffD.)5.1()5.6()5.3(fff5.对任意实数x，定义][x为不大于x的最大整数（例如4]4.3[,3]4.3[等），设函数][)(xxxf，给出下列四个结论：①0)(xf；②1)(xf；③)(xf是周期函数；④)(xf是偶函数，其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.46.若Rx，Nn，定义：)1()2)(1(nxxxxMnx，例如34M)2()3()4(24。则函数xMxsin115的奇偶性是（）第8页版权所有不得复制A.是偶函数不是奇函数B.是奇函数不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数7.函数xxxfcos2cos1)(（）A.在],2(),2,0[上递增，在]2,23(),23,[上递减B.在]23,(),2,0[上递增，在]2,23(),,2[上递减C.在),2[，]2,23(上递增，在]23,(),2,0[上递减D.在]2,23(),23,[上递增，在],2(),2,0[上递减8.若函数)1,0)(2(log)(2aaxxxfa在区间)21,0(内恒有0)(xf，则)(xf的单调递增区间为（）A.)41,(B.),41(C.),0(D.)21,(二.解答题：1.函数)(xf对任意的Rba、，都有1)()()(bfafbaf，并且当0x时，1)(xf。（1）求证：)(xf是R上的增函数；（2）若5)4(f，解不等式3)23(2mmf2.设函数)(xf是定义在R上的偶函数，并在区间)0,(上单调递增，)12(2aaf)123(2aaf，当a取何值时，函数132)21(aay是单调递减函数？3.设函数cbxaxxf1)(2是奇函数，（ba,，c都是整数），且3)2(,2)1(ff，)(xf在),1[上单调递增。（1）求cba,,的值；（2）当0x时，)(xf