陈正伟-2016年《投入产出分析(本科)》重点习题(下)

12016年《投入产出分析技术》重点练习题（下）解答重庆工商大学陈正伟2016年5月20日（版权所有：陈正伟）六、计算与证明（每题10分，共30分）(计算题中间过程保留4位小数，结果保留2位小数。）1.证明：已知；kAAAAAB432。)(0kAk证明：IAI1)(B＝证明：IkAIAAAIAIAAAAIIBAAAABkkkk)())(23232而（因此，我们得到IAIBAIIB11)()(。证毕。2.已知：中间消耗系数cja、劳动报酬系数vja、其它增加值系数mja，试证：1mjvjcjaaa),,2,1(nj，并说明经济意义。证明：1;;jjjjjiijmjvjcjjjmjjjvjjiijcjXXXmVxaaaXmaXVaXxa证毕。这一结论表明的是，一定时期内生产过程中产品价值的形成过程或组成部分。3.已知B＝A＋AB，B＝1)(AI存在；证明：B＝1)(AI－I。比较B与1)(AI的区别并说明经济解释。2证明：已知：B＝A＋AB有（I-A）B=A（I-A）B=A+I-I=I-（I-A）；因为1)(AI存在。所以：上式两边同乘以1)(AI有B=1)(AI-I证毕。上述证明过程表明，B与B＝1)(AI比较，B的主对角线元素是在B的主对角元素上加1，其它元素完全相同。4.已知一投入产出表，其直接消耗系数矩阵为：610614181041081A其最终产品列向量为：203050Y求总产出向量X，并根据所给出的条件，绘制简单实物(价值）投入产出表，求出其完全消耗系数矩阵。解：因为0.16670.250.2500.16670.125000.125A所以：1.27270.36360.363600.242421.14280.0692601.2121)(1AI根据：YAIX1)(知：57576.3702165.4587879.67203050*)(1AIX根据投入产出表的关系：等到：投入产出表：实物表为：I/O123YX18.48484809.3939395067.87879205.6277069.3939393045.02165311.3131306.2626262037.57576价值型表为：I/O123YX18.48484809.3939395067.87879205.6277069.3939393045.02165311.3131306.2626262037.57576N48.0808139.3939412.52525100X67.8787945.0216537.57576150.4762其完全消耗系数矩阵为：IAIB1)(0.27270.36360.363600.242420.14280.0692600.21215.试证明完全劳动消耗系数的计算公式为：31)()(AIABIBABvvvv或者是其中，vB——完全劳动消耗系数行向量，),,,(21vnvvvbbbB；vA——直接劳动消耗系数行向量，),,,(00201nvaaaA。证明：设),2,1(1vnjbaabniijvivjvj即；有矩阵式，)(BIABAABvvvv故：BAAIABvvv1)(证毕。6.已知某地区的完全消耗系数矩阵B=0.212100.36360.069260.14280.36360.2424200.2727；计算影响力系数和感应度系数。解：由：)(IBB1.27270.36360.363600.242421.14280.0692601.2121)(1AI；根据影响力系数公式有：),...2,1(1111njbnbFnjniijniijj感应度系数：),...2,1(1111nibnbEnjniijnjijj所以：影响力系数：0.9795920.7346941.285714感应度系数：1.0129871.0129870.9740267.试证：1)(AI的存在性。证明：（1）根据直接消耗系数的定义，ija表示每生产单位j部门产品，要消耗i部门产品的数量，那么有10ija),,2,1,(nji因此，矩阵A是一个非负矩阵。（2）在直接消耗系数矩阵A中，每一列的合计数，是每一部门单位产品价值中属于对各部门产品的中间消耗所占的比重，即部门中间消耗系数cja),,2,1(nj。nijijna11),,2,1(nj其中jn——为增加值所占总产出的比重或称新创造价值系数，410jn，niija11),,2,1(nj亦即各部门中间消耗系数小于1。（3）在矩阵)(AI中，每一列的合计数就是增加值所占总产出的比重，即各部门单位产品价值中扣除中间消耗后的剩余部分，如果将中间消耗分成二部分，则有jinjiijijjjaaa),,2,1(nj由于部门中间消耗系数niija11，所以有jiijjjjiijjjaaaa11或),,2,1(nj上式的经济意义是，每个部门单位产品价值中，扣除了对本部门产品的消耗后，应大于对其它部门产品的中间消耗。有了上面的三个结果（条件）：10ija，niija11和jiijjjaa1，我们根据有关的数学定义就可以证明0AI，亦即)(AI的逆矩阵存在。因此，YAIX1)(的解存在。证毕。8.试证：1)(AIY的非负性。证明：又0)()(0)(2121YAAIYAIXAAIAI或者，1,0)(1iiijbbIAIB故有0)(1AI所以，0Y则有0)(1YAIX证明完毕。参考资料1.陈正伟《投入产出分析》简明教程重庆工商大学2008.102.陈正伟《投入产出技术及应用》西南财经大学出版社2013,153.陈正伟《投入产出分析》PPT教材。