随机过程例题.

例1•已知随机相位正弦波X(t)=acos(t+)，其中a0，为常数，为在（0,2）内均匀分布的随机变量。求随机过程{X(t),t(0,)}的均值函数mX(t)和相关函数RX(s,t)。)(,cos2)](cos[2),(0)(22stastatsRtmXX2随机过程的基本概念例2•设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，则W(t)的均值函数为其相关函数为)()()(tmtmtmYXW),(),(),(),()]()([)]()([)]()([)]()([)]}()()][()({[)]()([),(tsRtsRtsRtsRtYsYEtXsYEtYsXEtXsXEtYtXsYsXEtWsWEtsRYYXXYXW2随机过程的基本概念例求在[0,1]区间均匀分布的独立随机序列的均值向量、自相关阵和协方差阵，设N=3。解：其它,010,1)(xxfiXXi的一维概率密度函数为：Xi的均值：21dd)(][10-xxxxfxXEmiiXiXjiXEXEjiXEXXErjiijiij,4/1][][,3/1][][2Xi的自相关函数：均值向量2/12/12/1XM自相关阵3/14/14/14/13/14/14/14/13/1XR协方差阵12/100012/100012/1XC2随机过程的基本概念例3设复随机过程，其中A1,A2,…,An是相互独立且服从N(0,)的随机变量，1,2,…,n为常数，求{Zt,t0}的均值函数mZ(t)和相关函数RZ(s,t)。0,e1jtAZnktktk2knktskZZktsRtm1)(j2e),(0)(2随机过程的基本概念例1•设有随机相位过程X(t)=asin(t+)，a,为常数，为(0,2)上服从均匀分布的随机变量，试讨论随机过程X(t)的平稳性。[解]因此X(t)是平稳随机过程。0)sin(2)()sin()]sin([)]([2020dtadftataEtXEcos2])(sin[)sin(2)]()([),(2202adttatXtXEttRX3平稳过程例2（白噪声序列）•设{Xn,n=0,1,2,}是实的互不相关随机变量序列，且E[Xn]=0，D[Xn]=2，试讨论随机序列的平稳性。[解]因为:(1)E[Xn]=00,00,][),()2(2nnXXXEnnR故随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关，因此它是平稳随机序列。3平稳过程例3•设有随机相位过程X(t)=acos(t+)，a,为常数，为(0,2)上服从均匀分布的随机变量，试问X(t)是否为各态历经过程。021)cos()]([20dtatXE0)cos(21lim)(TTTdttaTtX)()()cos(2)(2tXtXaRX故X(t)是为各态历经过程。3平稳过程[例4]设有两个随机过程X(t)=acos(t+)和Y(t)=bsin(t+)，其中a,b,为常数，为(0,2)上服从均匀分布的随机变量，分析X(t)和Y(t)是否联合平稳。[解])(cos),(22XaXRttR故X(t)和Y(t)均是平稳过程。0)]([)]([tYEtXE)(sin2]})(sin[)cos({])()([),(XYXYRabtbtaEtYtXEttR)(cos),(22YbYRttR所以X(t)和Y(t)是联合平稳的。3平稳过程[解][例1]设有随机过程X(t)=acos(0t+)，其中a,0为常数，在下列情况下，求X(t)的平均功率：(1)是在(0,2)上服从均匀分布的随机变量；(2)是在(0,/2)上服从均匀分布的随机变量。(1)随机过程X(t)是平稳过程，相关函数：)cos(2)(02aRX平均功率：2)0(2aRPX(2))2sin(2)](cos[)]([0220222taataEtXE平均功率：X(t)是非平稳过程2d)]([21lim22attXETPTTT4谱分析例2[解]20220200000)()(d])cos()[cos(ed)cos()cos(e2)(aaaaGaaX)cos(e)(0aXR•已知平稳过程的相关函数为，其中a0,0为常数，求谱密度GX().4谱分析0)]1()([)]([)(nWnWEnXEnmX[解])]1()1()(2[)]}1()()][1()({[)]()([)(2mmmnWnWmnWmnWEnXmnXEmRX例3设随机序列X(n)=W(n)+W(n-1)，其中W(n)是高斯随机序列，mW=0,RW(m)=2(m)，求X(n)的均值、自相关函数和谱密度GX().)cos1(2)ee2(e)()(jωjω2jωmmXXmRG4谱分析[例4]如图所示X(t)是平稳过程，过程Y(t)=X(t)+X(tT)也是平稳的，求Y(t)的功率谱。[解])()()(2})]()([)]()({[])()([),(TRTRRTtXtXTtXtXEtYtYEttRXXXY)]cos(1)[(2e)(e)()(2de)]()()(2[de)()(jjjjTGGGGTRTRRRGXTXTXXXXXYYX(t)Y(t)延迟T4谱分析例1（h(t)的估计）•设线性系统输入一个白噪声过程X(t)，其自相关函数为RX()=N0()，则)(d)()()(00hNuuhuNRYX)(1)(0YXRNh通过测量互相关函数，可以估计线性系统的单位脉冲响应。)()(1)(0tXtYNh假定过程X(t)和Y(t)是各态历经的，5随机信号通过线性系统的分析[例2]如图RC电路，若输入白噪声电压X(t)，其相关函数为RX()=N0()，求输出电压Y(t)的相关函数和平均功率。[解]RCiH1,)(其中)()(tuetht0)](FT[)(NRGXX02222)()()(NGHGXYeNGRYY2)](IFT[)(02)0(0NRPYX(t)Y(t)RC5随机信号通过线性系统的分析[例3]如图有两个LTI系统H1()和H2()，若输入同一个均值为零的平稳过程X(t)，它们的输出分别为Y1(t)和Y2(t)。如何设计H1()和H2()才能使Y1(t)和Y2(t)互不相关？[解]X(t)Y1(t)H1()H2()Y2(t)互不相关协方差为零d)()()()()(htXthtXtY0d)(11hmmXY0d)(22hmmXY)()()(dd)()()(])()([)(21212121hhRvuvhuhvuRtYtYERXXYY)()()()(2121HHGGXYY,0)(21时当YYG0)(21YYR0)(21YYC当两个LTI系统的幅频特性互不重叠时，则它们的输出Y1(t)和Y2(t)互不相关。5随机信号通过线性系统的分析[例1]已知仪器在[0,t]内发生振动的次数X(t)是具有参数的泊松过程。若仪器振动k(k1)次就会出现故障，求仪器在时刻t0正常工作的概率。[解]0,00,)!1()()(1ttktetfktWk故仪器在时刻t0正常工作的概率为:0d)!1()()(10tktktktetWPP故障时刻就是仪器发生第k振动的时刻Wk，服从分布:1000!)(])([0knntntektXP6泊松过程})()({ntXksXPknkkntstsC1参数为n和s/t的二项分布[例2]设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0st，对于0kn，求在[0,s]内事件A发生k次的概率。})({})(,)({ntXPntXksXP})({})()(,)({ntXPknsXtXksXP!)()!()]([!)()(netknestkestnstknsknknktstsknkn)()!(!!6泊松过程)()(nsftXWk[例3]设在[0,t]内事件A已经发生n次，求第k次(kn)事件A发生的时间Wk的条件概率密度函数。knkktstsknkn1)!()!1(!1Beta分布})({ntXhsWsPk})({})(,{ntXPntXhsWsPk})({})()(,{ntXPknhsXtXhsWsPk})({})()({}{ntXPknhsXtXPhsWsPkhntXhsWsPkh})({lim0})({})()({)(ntXPknsXtXPsfkW6泊松过程2438032132}5)3(4)2({45445CXXP[例4]某电话交换台在[0,t]时间内收到的呼叫次数X(t)是一个泊松过程，平均每分钟2次。(1)求3分钟内接到5次呼叫概率；(2)若3分钟内已接到5次，求前2分钟收到4次呼叫的概率，以及第2次呼叫发生在第1分钟内的概率。2)()]([)(ttmttXEtmXX243131d31920d)5(}5)3(10{10310)3(22sssssfXWPXW16.0e!5)3(}5)3({e!)(})({35XPktktXPtk6泊松过程马尔可夫链的几个简单例子[例1]二进制对称信道模型——是常用于表征通信系统的错误产生机制的离散无记忆信道模型。假设某级信道输入0,1数字信号后，其输出正确的概率为p，产生错误的概率为q，则该级信道输入状态和输出状态构成一个两状态的齐次马尔可夫链。0011ppqq一步转移概率矩阵：)1,0,(,,jijiqjippijpqqpP二步转移概率矩阵：22222)2(22qppqpqqpPP7马尔可夫链[例2]具有吸收壁和反射壁的随机游动设质点在线段[1,4]上作随机游动。假设它只能在时刻nT发生移动，且只能停留在1,2,3,4点上。当质点转移到2,3点时，它以1/3的概率向左或向右移动一格，或停留在原处。当质点移动到点1时，它以概率1停留在原处。当质点移动到点4时，它以概率1移动到点3。若以Xn表示质点在时刻n所处的位置，则{Xn,nT}是一个齐次马尔可夫链。7马尔可夫链[例3]设{Xn,nT}是一个马尔可夫链，其状态空间I={a,b,c}，转移矩阵为05/25/33/103/24/14/12/1P求：}{)2(};,,,{)1(204321bXcXPcXcXaXcXbXPnn7马尔可夫链},,,{)1(04321cXcXaXcXbXP}{/}{}{}{}{}{0001122334cXPcXPcXbXPbXcX