随机过程的基本概念.

概率论与随机过程西安邮电大学理学院在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做特定时间点上的一次观察,且需要做多次的连续不断的观察,以观察研究对象随时间推移的演变过程.例2.1（热噪声电压）电子元件或器件由于内部微观粒子（如电子）的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压，它在任一确定时刻的值是随机变量，记为．()Vtt不同时刻对应着不同的随机变量，当时间在某区间，譬如上推移时，热噪声电压表现为一簇随机变量．在无线电通讯技术中，接收机在接收信号时，机内的热噪声电压要对信号产生持续的干扰，为消除这种干扰（假设没有其它干扰因素），就必须考虑热噪声电压随时间变化的过程.为此，我们通过某种装置对电阻两端的热噪声电压进[0,)行长时间的测量，并把结果自动记录下来，这作为一次试验结果，便得到一个电压--时间函数（即电压关于时间的函数）,如下图，t1(),0vtt这个电压--时间函数是不可能预先确知的，只有通过测量才能得到.如在相同条件下独立地再进行一次测量，则得到的记录是不同的，事实上，由于热骚动的随机性，在相同条件下每次测量都将产生不同的电压--时间函数．这样不断地独立重复第一次测量就可以得到一簇不同的电压—时间函数，这簇函数从另一个角度刻画了热噪声电压．051015202530354045504.24.44.64.855.25.45.65.86)(1tv051015202530354045504.24.44.64.855.25.45.65.86)(1tv010203040504.44.54.64.74.84.955.15.25.35.4)(2tv010203040504.44.64.855.25.45.65.8)(3tvjt例2.2用X(t)表示某手机在大年初一早上从8:00开始经过t时刻收到的短信数。例2.3顾客来到服务站要求服务，当服务站中的服务员都正在为别的顾客服务时，来到的顾客就要排队等待服务。由于顾客的来到时间一般是随机的，每个顾客所需要的服务时间一般也是随机的，令X(t)表示t时刻的队长(服务的顾客加等待的顾客)，Y(t)表示为t时刻来到的顾客所需要等待的时间。:(,,),,,,(,,)(,),,(,)(,,)(S.P.).{(,),,},{()}FPTTRtTFPXtXtFPXttTXttT定义设为一概率空间为一参数集若对于每一均有定义在上的一个随机变量与之对应则称为上的一个随机过程记简记为称为参数集或参数空间,称为参数,一般表示时间或空间.Tt参数集通常有以下形式:(1){0,1,2,}{2,1,0,1,2,}(2)[,],,TTTabab或其中可以为可以为当参数集为形式⑴时,随机过程也称为随机序列()Xt说明:设为一S.P.{(,),,}XttT1.,实质上为定义在上的二元单值函数.{(,)}XtT2.对每一个固定的为一随机变量时.该随机变量所有可能取值的集合,称为随机过程的状态空间.记为中的元素称为状态.,()tXt(.),rvtT.SS3.对每一个确定的是定义在上的普通函数.记为,称为随机过程的一个样本函数.也称轨道或实现.样本函数的图形称为样本曲线．00,(,)XtT0(,)xt)cos(tAX(t)例２.4具有随机初位相的简谐波其中为常数，服从上的均匀分布.,A[0,2]由于初位相的随机性，在某时刻是一个随机变量．00,()ttXt若要观察任一时刻的波形，则需要用一族随机变量描述.t()Xt则称为随机过程．{(),[0,)}XtttX(t)样本曲线x1(t)样本曲线x2(t)t0状态X(t0)状态X(t0)样本曲线与状态)cos(tAX(t)状态空间,参数集[,]SAA(,)T随机过程西安邮电大学理学院概率论的基本概念•§2.1随机过程的定义•§2.2随机过程的分类和举例•§2.3随机过程的有限维分布函数族•§2.4随机过程的数字特征•§2.5两个随机过程的联合分布和数字特征•§2.6复随机过程•§2.7几类重要的随机过程1．状态空间离散，参数集离散的随机过程，称为随机序列．２．状态空间离散，参数集连续的随机过程．３．状态空间连续，参数集离散的随机过程．４．状态空间连续，参数集连续的随机过程．按参数集T和状态空间E离散与否分类按s.p.的概率结构来分独立随机过程；独立增量随机过程；Markov过程；平稳随机过程。T离散、I离散T离散、I非离散（连续）参数T状态I分类概率结构分类2．按过程的概率结构分类T非离散（连续）、I离散T非离散（连续）、I非离散（连续）独立随机过程独立增量随机过程马尔可夫过程平稳随机过程随机过程西安邮电大学理学院概率论的基本概念•§2.1随机过程的定义•§2.2随机过程的分类和举例•§2.3随机过程的有限维分布函数族•§2.4随机过程的数字特征•§2.5两个随机过程的联合分布和数字特征•§2.6复随机过程•§2.7几类重要的随机过程随机过程的有限维分布函数族{X(t),tT}是一个随机过程，t1T，X(t1)是r.v.，它的分布函数记作F(x1;t1)=P{X(t1)x1},称为随机过程的一维分布函数。若存在二元非负可积函数f(x1;t1)满足111111);();(xdytyftxFf(x1;t1)----s.p.X(t)的一维密度函数。t1,t2T，{X(t1),X(t2)}是二维r.v.若存在非负可积函数f(x1,x2;t1,t2)满足122121212121),;,(),;,(xxdydyttyyfttxxFf(x1,x2;t1,t2)----s.p.X(t)的二维密度函数。F(x1,x2;t1,t2)=P{X(t1)x1,X(t2)x2},称为s.p.X(t)的二维分布函数。一般地,t1,t2,,tnT，若存在非负可积函数f(x1,x2,,xn;t1,t2,,tn)满足1111),,;,,(xxnnnndydyttyyff(x1,,xn;t1,,tn)----s.p.X(t)的n维密度函数。F(x1,x2,,xn;t1,t2,,tn)=P{X(t1)x1,X(t2)x2,,X(tn)xn},称为s.p.X(t)的n维分布函数。),,,;,,,(2121nntttxxxF{F(x1,x2,,xn;t1,t2,,tn),t1,t2,,tnT,n1}称为s.p.X(t)的有限(穷)维分布函数族。{f(x1,x2,,xn;t1,t2,,tn),t1,t2,,tnT,n1}称为s.p.X(t)的有限(穷)维密度函数族。也即随机过程{X(t),t∈T}的一维分布函数,二维分布函数,…,n维分布函数,…,的全体为随机过程的有限维分布函数族.随机过程{X(t),t∈T}的一维密度函数,二维密度函数,…,n维密度函数,…,的全体为随机过程的有限维密度函数族.易知有限维分布族不仅刻划了每一时刻Tt1随机过程)(tX的状态)(1tX的分布规律，而且也刻划了任意时刻Ttttn,,,21随机过程)(tX的状态)(1tX，)(2tX，…，)(ntX之间的关系因此，一个随机过程的统计特性可由其有限维分布函数族表达出来。首页注：有限维分布函数族能够描述随机过程的统计特性.并且具有如下性质有限维分布函数族的性质(1)对称性对(1,2,,n)的任意一种排列(j1,j2,,jn),有),,,;,,,(2121nntttxxxF),,,;,,,(2121nnjjjjjjtttxxxF(2)相容性对mn,有),,,,;,,,,,(111nmmmttttxxF),,,;,,,(2121mmtttxxxF柯尔莫歌洛夫定理:以(,,)QFP(,,)QFP()Xt()Xt1212(,,,;,,)nnFtttxxx11(,,;,)nnFttxx设满足对称性和相容性,则存在及定义在上的随机过程且随机过程为其有限维分布族定义3(S.P.的有限维特征函数)设{X(t),t∈T}是一个S.P.对于固定的t1,t2,…,tn∈T,X(t1),X(t2),…,X(tn)是n个随机变量,称),...,,(21,...,,21ntttuuun),(1,)(11ntttXujxxdFenniii][E))()((11nntXutXuje为S.P.{X(t),t∈T}的n维特征函数.(ui∈R,i=1,2,…,n)•3．S.P.的有限维特征函数族称11(,,;,,),,,1,2,,,nniittuuuRtTinnN为随机过程(),XttT的有限维特征函数族．例s.p.X(t)=A+Bt,t0,其中A和B是独立的r.v.,分别服从正态分布N(0,1)。求X(t)的一维和二维分布。例s.p.X(t)=Acost,t,其中A为r.v.,具有分布律313131321PA求(1)一维分布函数F(x;/4),F(x;/2)；(2)二维分布函数F(x1,x2;0,/3)。例利用掷一枚硬币的试验定义一个随机过程出现反面出现正面,2,cos)(tttX0t已知出现正面与反面的概率相等.⑴求X(t)的一维分布函数F(1/2;x),F(1;x).⑵求X(t)的二维分布函数F(1/2,1;x1,x2).例设随机过程X(t)=Vcosωt,t∈(-∞,+∞),其中ω为常数,V服从[0,1]上的均匀分布.⑴确定{X(t),t∈(-∞,+∞)}的两个样本函数.⑵求t=0,t=3π/4ω时,随机变量的概率密度函数.⑶求t=π∕2ω时X(t)的分布函数.例1袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量时取得白球如果时取得红球如果tttettX,,3)(试求这个随机过程的一维分布函数族。分析先求概率密度所以解对每一个确定的时刻t，)(tX的概率密度为3tte)(tX3231P)(11xtF；))((11xtXPttexexttx，13,323,011概率论与随机过程西安邮电大学理学院随机过程西安邮电大学理学院概率论的基本概念•§2.1随机过程的定义•§2.2随机过程的分类和举例•§2.3随机过程的有限维分布函数族•§2.4随机过程的数字特征•§2.5两个随机过程的联合分布和数字特征•§2.6复随机过程•§2.7几类重要的随机过程有限维分布函数族虽然能够完整描述随机过程的统计特征,但是在实际中很难得到.因此,如同随机变量一样,也用数字特征来表征随机过程.即将随机变量的数字特征推广到随机过程中.但要注意其区别:随机过程的数字特征不再是确定的数,而是确定的时间的函数.在实际应用中,很难确定出随机过程的有限维分布函数族,过程的数字特征能反映其局部统计性质.需确定各类数字特征随时间的变化规律...,rv(),XmttT(),XttT..,SP,()tTXt设是一是一个[()]EXt(),Xmt如果存在，记为则称为(),XttT的均值函数即[]ˆXmtEXtxdFtxtT(),,说明)(tm是)(tX的所有样本函数在时刻t的函数值的平均它表示随机过程)(tX在时刻t的摆动中心２．随机过程的方差函数(),XttT(),XDt(),XDttT..,rv[()]DXt,()tTXt(),XttT..,SP设是一是一个如果存在，记为则称为的方差函数．ˆXXDtDXtEXtmt2()称为过程的均方差函数.XtDtσ(),XttT说明均方差函数它表示)(tX在各个时刻t对于)(tm的偏离程度３．随机过程的协方差函数(,),,XCststT