随米文库--华中科技大学2011~2012学年第一学期《线性代数》课程考试试卷(A卷)

华中科技大学2011~2012学年第一学期《线性代数》课程考试试卷（A卷）（闭卷）一、判断下列命题是否正确，正确的打√，错误的打×（8×2=16分）（）1.若n阶行列式D中多余2nn个元素为1，则此行列式的值为零。（）2.若n阶实对称阵列A的对角线上有某个元素等于0，则A一定不是正定矩阵。（）3.设A为n阶实反称阵，则对任意n维实向量x，有0TXAX（其中TX为X的转置）。（）4.若A可对角化，则对任意多项式()f，()fA也可对角化。（）5.若123,,线性无关，则123320。（）6.若n阶方阵A的特征值为1或0，则2AA（）7.若12345,,,,线性无关，则1223344551,,,,线性无关。（）8.若n阶方阵的行向量组与列向量组不等价，则0A二．填空题(4×5=20分)1.设1,1,1A，则2TIAA_____________.2.设A为n阶方阵，且秩A=n-1，A的每行元素之和为0，则齐次线性方程组AX=0基础解系为____________。3.设123023003A，则12IA的特征值为__________。4.设A为三阶方阵，秩A=2，AX=b有三个解，123,,xxx，1(1,1,1)Tx；23(1,2,3)Txx，则方程组AX=b的通解为_______。5.设A为n阶方阵，且2420AAI，则1()AI=________。三、计算n阶行列式（8分）nabbbbabbDbbabbbbac四、设有线性方程组（12分）123423423412340221(3)2321xxxxxxxxaxxbxxxaxa，b为何值时，方程组（1）有唯一解；（2）无解（3）有无穷多，并求其解。五、设202020101A满足2ABIAB，其中I是3阶单位矩阵，求矩阵B。（12分）六、用正交变换X=CY将二次型123121314232334(,,)222222fxxxxxxxxxxxxxxx化为标准形。（12分）七、设101a是1110101bAb的一个特征向量。（12分）1.求b及a对应的特征值2.求可逆阵P，使1PAP对角阵。八、证明：任一n阶方阵纵可以表为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵之积。其中满足2AA的矩阵称为幂等矩阵。（10分）