分式的概念和性质基础

分式的概念和性质（基础）【学习目标】1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算.【要点梳理】知识点一、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如a是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2xyx是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，不能看化简的结果.知识点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.知识点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：AAMAAMBBMBBM，（其中M是不等于零的整式）.要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x的取值范围变大了.知识点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有bbaa，bbaa.根据有理数除法的符号法则有bbbaaa.分式ab与ab互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.知识点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.知识点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】类型一、分式的概念例1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？2a，3x，1mm，23x，5，2aa，23．类型二、分式有意义，分式值为0例2、下列各式中，m取何值时，分式有意义？（1）2mm；（2）1||2m；（3）239mm．【变式1】在什么情况下，下列分式没有意义?（1）3(7)xxx；（2）21xx；（3）222xx．【变式2】当x为何值时，下列各式的值为0．（1）2132xx；（2）221xxx；（3）224xx．类型三、分式的基本性质例3、不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．（1）0.20.020.5xyxy；（2）11341123xyxy．【变式1】如果把分式yxx232中的yx,都扩大3倍，那么分式的值（）A扩大3倍B不变C缩小3倍D扩大2倍【变式2】填写下列等式中未知的分子或分母．（1）22?xyxyxy；（2）()()?()()()bacbacabbcac．例4、不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“－”号．（1）2ab；（2）45xy；（3）3mn；（4）23bc．类型四、分式的约分、通分例5、将下列各式约分：（1）23412axx；（2）243153nnxyxy；（3）211aa；（4）321620mmmm．【变式】通分：（1）4bac，22abc；（2）22xx，211x．（3）232ab与2ababc；（4）12x，244xx，22x．【巩固练习】一.选择题1．在代数式22221323252,,,,,,33423xxxyxxxx中，分式共有()．A.2个B.3个C.4个D.5个2．使分式5xx值为0的x值是（）A．0B．5C．－5D．x≠－53.下列判断错误．．的是（）A．当23x时，分式231xx有意义B．当ab时，分式22abab有意义C．当21x时，分式214xx值为0D．当xy时，分式22xyyx有意义4．x为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（)A．21xxB．211xxC．11xxD．211xx5．如果把分式yxyx2中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（）A．扩大10倍B．缩小10倍C．是原来的32D．不变6．下列各式中，正确的是（）A．amabmbB．0ababC．1111abbaccD．221xyxyxy二.填空题7．当x＝______时，分式632xx无意义．8.若分式67x的值为正数，则x满足______．9．（1）112()xxx（2）.yxxyx22353)(10．（1）22)(1yxyx（2）24)(21yyx11.分式2214ab与36xabc的最简公分母是_________.12.化简分式：（1）3()xyyx_____；（2）22996xxx_____．三.解答题13.当x为何值时，下列分式有意义?（1）12xx；（2）1041xx；（3）211xx；（4）2211xx．14．已知分式,yayb当y＝－3时无意义，当y＝2时分式的值为0，求当y＝－7时分式的值．15．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．（1）22xxy（2）2baa（3）2211xxxx（4）2231mmm