非线性作业

非线性作业1、请介绍所学专业中涉及哪些非线性问题？答：所学专业中常见的非线性问题有:1、沥青的非牛顿流动特性的试验测试，沥青在熔融状态下是属于非牛顿流体，具备非牛顿流体的性质；2、沥青砂粘弹塑模型的参数拟合，依据沥青砂蠕变特性，将总变形分为粘弹性、粘塑性两种分量，采用Burgers模型描述粘弹性变形，采用滑块与粘壶模型描述粘塑性变形，然后加以组合，形成基于二变形分量的粘弹塑性本构模型；3、改性沥青的粘弹特性，通过动态剪切流变试验，采用相位角和车辙因子评价改性沥青的粘弹特性；4、沥青粘弹特征函数的相互换算5、沥青混合料的破坏的形态和重复荷载作用下的疲劳与破坏，沥青混合料的疲劳寿命与沥青用量有密切关系，影响疲劳寿命错误!未找到引用源。的基本公式：式中：错误!未找到引用源。—试验所用的拉伸应变；c，d—与试验条件有关的参数；6、沥青混合料的低温断裂与路面低温开裂，对沥青混合料进行弯曲试验、劈裂试验或低温弯曲蠕变试验，评价沥青混合料的低温性能；7、沥青混合料的损伤与蠕变衰坏，沥青混合料在荷载作用下的蠕变可分为3个阶段：①迁移期，变形迅速增大，但应变速率随时间增加逐渐减小；②稳定期，应变稳定增长，但应变速率基本保持不变；③破坏期，应变、应变速率随时间增加迅速增大直至破坏。以流变学模型理论为基础，综合考虑损伤和硬化效应，建立了一个统一的沥青混合料损伤蠕变模型。对于单轴压缩应力状态，Kachanov采用Norton律得到Kachanov蠕变损伤律：式中：C，v—依赖于温度的材料常数；D—损伤因子。2、已知yy，01y，2t，若采用4阶的Runge-Kutta方法求解，则1f、2f、3f、4f和2y分别是多少？解：(x,y)yf，于是1123412132432(K22)6(x,y)y(x1,yK)2y(x1,yK)3y(x2,y2K)7ynnnnnnnnnnnnnnyyKKKKfKfKfKf由此可得17nnyy由于(0)1y，故有1234,2,3,7(2)7nnnnfyfyfyfyy3、针对微分方程dyydt（01y），其精确解为tyte，若采用Euler算法，当0.1t时，其迭代1次和2次的局部误差和全局误差分别是多少？解：10.11.1nnnnyyyy迭代1次：局部误差为0.100.11(0.1)y(0)0.1y(0)1.11.10.00517yeee全局误差为0.110.1(0.1)y1.10.00517Eye迭代2次：局部误差为0.20.220.2(0.2)y1.11.11.210.01140yee全局误差为0.20.121.211.10.01657Eee4、求下列非线性方程组的解。2211211122222121122,2420,3230fxxxxxxxfxxxxxx解：设初始近似解为0(0.9,0.4)Tx00112,0.73fxx00212,0.79fxx分别对x1，x2求一阶导数：1'112221xfxx2'11228xfxx1'21223xfxx2'21234xfxx故12(0)12''11(0)''221.65(x)34.3xxxxxffDfff因此111121.650.730.099934.30.790.1140xx120.99990.5140xx11001121121100212212,0.08458,,0.98465,fxxfxxfxxfxx接近接近故方程组解为120.99990.5140xx5、屈服面在弹塑性本构模型中起到什么作用？答：弹性和塑性区的分界面称为屈服面。屈服面是屈服准则的几何表示，可用来判断弹塑性材料被施加应力增量后是加载还是卸载，或是中性变载，也就是用来判断是否发生塑形变形。加载时弹性变形和塑形变形都会产生，卸载时只产生弹性变形。6、已知某屈服面为20JC，若采用相关联流动法则，则在应力点0000TCC处的塑性应变增量方向为？答：相关流动准则认为塑性势就是屈服面，因此pd,dijijf，塑性应变增量方向和通过该点的屈服面20JC成正交关系。7、请检索近5年的学术论文，介绍一种与所学专业相关的非线性本构模型。（要求列出论文来源及发表时间）这里要介绍的非线性本构模型是表征沥青混合料应力松弛性能的分数阶指数模型。具体步骤如下：首先进行沥青混合料的应力松弛试验：通过对不同老化程度的沥青混合料AC-13C进行不同温度、不同应力水平下的应力松弛试验,得到其应力松弛模量随时间变化的关系曲线，分析沥青混合料的应力、应变变化的规律。并利用分数阶指数模型来表征沥青混合料的应力松弛性能,同时应用非线性回归方法得到各参数与老化时间、应变、温度的关系,确定最终的非线性粘弹性模型。应力松弛是指在应变恒定的条件下,应力随时间衰减的特性。可见,要进行应力松弛试验,首先必须设计产生一个应变输入,使得:0t0错误!未找到引用源。_错误!未找到引用源。H(t)=。错误!未找到引用源。t错误!未找到引用源。0根据加载测得的荷载F、位移d及试件面积A、长度,相应温度下的瞬时弹性模量E为:E=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。。通过上述试验,分别测试了不同老化程度(0、4、8、12、24h)的棱柱体试件在10、15℃下,初始位移为0.3、0.35、0.4、0.45、0.5mm(相应应变为0.0012、0.0014、0.0016、0.0018、0.0020)下的各个应力比下的应力,求得每个时刻的松弛模量。根据试验结果,绘制出不同老化沥青混合料在不同温度下的应力松弛模量曲线如图1、图2所示,时间(单位:s)采用对数坐标。图110℃下不同应变下的松弛模量图215℃下不同应变下的松弛模量由图1、图2对比分析可知，(1)应力松弛大致可分为2个阶段:第1阶段,应力下降迅速,即松弛速度较快;第2阶段,曲线趋于平缓,即松弛速度减慢。(2)不同温度下,15℃时的应力松弛速度要比10℃时的应力松弛速度的要快,这说明温度越高,应力松弛的越快。(3)随着初始应变的增大,其松弛模量曲线依次下降,即初始应变越大,其对应的松弛模量也就越小。比较不同初始应变下的松弛能力,可得出初始应变的越小,其应力松弛能力也就越小,即初始应变小的松弛模量曲线相对缓和平坦。接下来是非线性模型的确定：分阶指数模型目前使用较多的粘弹性材料的固体模型是标准线性体模型和Rabotnov模型。但是,标准线性体模型中的蠕变柔量和松弛模量表达式与试验数据的吻合程度不是很好,特别是蠕变或松弛的初始阶段。Rabotnov模型的分指数核能够做到与试验结果吻合得较好,但由于它是用级数形式表达的,收敛速度非常缓慢,降低了计算的效率。而且,Rabotnov模型只给出了蠕变核表达式,没有给出自相协调的松弛核表达式。为了克服上述2种模型中的一些缺陷,张为民提出了1组与试验结果吻合得很好的、简单实用、计算速度快且自相协调的分阶指数模型,该模型的蠕变柔量和松弛模量的解析表达式为错误!未找到引用源。.式中,D0、E0为初始(瞬时)蠕变柔量和松弛模量;D∞、E∞为平衡蠕变柔量和松弛模量;α、β、β1、γ为材料参数,且0α1,β0,β10,γ0,它们可以通过拟合试验曲线来确定。其中，上式的增量形式可写为:分阶指数模型试验数据验证:上文说明分阶指数模型较为好用,首先对其进行验证,以0h老化程度的试验数据为例,把各应变的松弛模量向参考应变0.0016平移,平移后的结果如图3所示。图30h老化程度在平移0.4mm时松弛模量主曲线本文使用分阶指数模型中松弛模量的模型来进行试验数据的识别,确定模型参数,松弛模量模型经过化简后可得:相应的模型参数采用origin非线性进行拟合,拟合结果如图4所示。图4分阶指数模型拟合结果非线性粘弹性模型的确定:根据分阶指数模型,利用origin软件将每个温度、应变及老化程度下的松弛模量进行非线性拟合,得到每一种状态下的参数。并经过SPSS软件进行方程回归,得到了分阶指数模型参数与老化时间h、应变ε和温度T的关系式,如下错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、α、β、γ的相关系数R2分别为0.867、0.944、0.660、0.698、0.515,将上述5个参数带入分阶指数模型中,可得最终的非线性粘弹性模型公式,得出了松弛模量与时间、老化时间、应变、温度的关系式。研究结果表明,采用控制应变方式的应力松弛试验可用于评价沥青混合料的的应力松弛能力;沥青混合料的老化程度越高,其低温抗裂性能也就越差;温度越高,应力松弛的越快;初始应变的越小,其应力松弛能力也就越小,即初始应变小的松弛模量曲线相对平缓;利用分阶指数模型能较好地模拟沥青混合料的粘弹性性质,且与试验结果吻合得很好。论文来源：[1]荆滨.老化沥青混合料非线性粘弹性模型研究.长沙理工大学,2009[2]田小革,于志新,荆滨.基于应力松弛试验下的沥青混合料非线性粘弹性模型研究.公路交通科技，2010.8[3]胡曼.基于沥青混合料粘弹塑性本构模型实验研究与车辙计算.重庆交通大学硕士学位论文，2011.04[4]张久鹏，黄晓明.沥青混合料永久变形的弹黏塑—损伤力学模型.东南大学学报，2010.1