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非齐次线性微分方程通解的证明问题重述如果是区间上的连续函数,是区间上齐次线性微分方程(5.21)的基本解组,那么,非齐次线性微分方程(5.28)的满足初值条件的解由下面公式给出(5.29)这里是的朗斯基行列式,是在中的第k行代以后得到的行列式,而且(5.28)的任一解u(t)都具有形式,(5.30)这里是适当选取的常数。公式(5.29)称为(5.28)的常数变易公式。我们指出,这时方程(5.28)的通解可以表示为证明考虑n阶线性微分方程的初值问题12(),(),...,(),()natatatftatb12x(),x(),...,x(),ntttatb()(n-11()+...+()x=0nnxatxat)()(n-11()+...+()x=()nnxatxatft)(1)0000()0()=0()=0,[,]nabtttt,,...,0n12k112[x(),x(),...,x()]()=x(){}()[x(),x(),...,x()]tknktnWsssttfsdsWsss12[x(),x(),...,x()]knWsss12x(),x(),...,x()nsss12[x(),x(),...,x()]knWsss12[x(),x(),...,x()]nWsss(0,0,...,0,1)T1122()()()...()()nnutcxtcxtcxtt12,,...,nccc1122()()...()()nnxcxtcxtcxtt(5.6)其中是区间上的已知连续函数,,是已知常数,我们指出,它可以化为下列线性微分方程组的初值问题:(5.7)其中事实上,令这时而且现在假设)(t是在包含的区间上(5.6)的任一解,由此,我们得知)()()(t,...,t,tn在上存在、连续、满足方程(5.6)且令()111112()...()()(),(),(),...,(),nnnnnooonxatxatxatxftxtxtxt12(),(),...,(),()natatatftatb0[,]abt12,,...,n12100100000100,00010()()()()()(),nnnxxatatatatftxt111222,,nnnxxxxxxxx(1)123,,,...,,nnxxxxxxxx(1)12231()1121,,...,,()()...()()nnnnnnnnxxxxxxxxxxxatxatxatxft10012002(1)00()(),()(),...,()()nnnxtxtxtxtxtxt0tatbatb(1)01020(),(),...,(),nnttt12()()(),()ntttt其中那么,显然有,此外,我们还得到在此处键入公式。这就表示这个特定的向量)(t是(5.7)的解,反之,假设向量u(t)是在包含0t的区间上(5.7)的解,令,)()()(tu21tututun)(并定义函数,由(5.7)的第一个方程,我们得到,(1)12()(),()(),...,()()(),nnttttttatb0()t12()()()()()()()()nnttttttt23(1)1()()()()()...()()()nnntttattattft2311()()()()()...()()()nnntttattattft121210100()0010()0001()()()()()nnnntttatatatat00,0()ftatb1()()tut12()()()tutut由第二个方程得到有第n-1个方程得到由第n个方程得到由此即得同时,我们也得到这就是说,是(5.6)的一个解总之,由上面的讨论,我们已经证明了初值问题(5.6)与(5.7)在下面的意义是等价的:给定其中一个初值问题的解,我们可以构造另一个初值问题的解。值得指出的是,每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微分方程构成的方程组,反之却不成立。本段讨论非齐次线性微分方程组(5.14)的解的结构问题,这里是区间上已知nxn连续矩阵,是区间上的已知的n维连续列向量,向量通常称为强迫项,因为如果(5.14)描述一个力学系统,就代表外力。我们容易验证(5.14)的两个简单性质性质1如果是(5.14)的解,是(5.14)对应的其次线性微分方程组(5.15)的解,则是(5.14)的解性质2如果和是(5.14)的两个解,则是(5.15)的解下面的定理7给出(5.14)的解的结构定理7设是(5.15)的基解矩阵,是(5.14)的某一解,则(5.14)的任一解都可表为(5.23)23()()(),...,tutut(1)1()()(),nnntutut()112211n-1n-212()()()()()()...()()()()()()()()()...()()()nnnnnnntutatutatutatutatutftattattattft()()()n-1n-212()()()()()...()()()nntattattattft()()(1)1010()(),...,()()noonntuttut()tx()()Atxft()Atatb()ftatb()ft()ft()t()t()()tt()t()t()()tt()t()t()t()()()ttct这里c是确定的常数列向量证明由性质2我们知道是(5.15)的解,再由5.2.1的定理1*,得到这里c是确定的常数列向量,由此即得定理证毕定理7告诉我们,为了寻求(5.14)的任一解,只要知道(5.14)的一个解和它对应的齐次线性微分方程组(5.15)的基解矩阵,现在,我们要进一步指出,在已经知道(5.15)的基解矩阵的情况下,有一个寻求(5.14)的解的简单方法,这个方法就是常数变易法。从上一节我们知道,如果c是常数列向量,则是(5.15)的解,它不可能是(5.14)的解,因此,我们将c变易为t的向量函数,而试图寻求(5.14)的形如(5.24)的解,这里是待定的向量函数。假设(5.14)存在形如(5.24)的解,这时,将(5.24)代入(5.14)得到因为是(5.15)的基解矩阵,所以,由此上式中含有的项消去了,因而必须满足关系式(5.25)因为在区间上是非奇异的,所以存在,用左乘(5.25)两边,然后积分之,得到其中=0,这样,(5.24)变为(5.26)因此,如果(5.14)有一个形如(5.24)的解,则由公式(5.26)决定。()()tt()()()tttc()()()ttct()t()t()()ttc()()ttc()ct()()()()()()()()tcttctAttctft()t()()()tAtt()()()Attct()ct()()()tctftatb()t1()t1()t010()()(),,[,]tctsfsdsabttt0()ct010()()()(),[,]tttsfsdsabttt()t()t反之,用公式(5.26)决定的向量函数必定是(5.14)的解,事实上,微分(5.26)得到再利用公式(5.26),即得显然,还有=0,这样一来,我们就得到了下面的定理8定理8如果是(5.15)的基解矩阵,则向量函数是(5.14)的解,且满足初值条件由定理7和定理8容易看出,(5.14)的满足初值条件的解由下面公式给出(5.27)这里是(5.15)的满足初值条件的解,公式(5.26)或公式(5.27)称为非齐次线性微分方程组(5.14)的常数变易公式。()t00111()()()()()()()()()()()(),tttsfsdsttftttAttsfsdsftt()()()()tAttft0()t()t01()()()()tttsfsdst0()0t0()t()t0110()()()()()()ttttsfsdstt10()()()httt()ht
本文标题:非齐次线性微分方程通解的证明
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