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第2章控制系统的数学模型2.1控制系统的微分方程2.2微分方程的线性化2.3Laplace变换和逆变换2.4传递函数2.5系统方块图及其简化2.6信号流图及MASON公式2.7控制系统建模2.1控制系统的微分方程例1如图所示质量-弹簧-阻尼系统,其中f:粘性系数,m:质量,k:弹簧刚度,F(t):输入力,y(t):输出位移。y(t)kF(t)mf)()()()(22tFtkydttdyfdttydm例2RLC无源网络,ui(t)为输入电压,uo(t)为输出电压。)()()()(22tutudttduRCdttudLCioooLRui(t)i(t)Cuo(t)例3列写积分运算放大器的微分方程,ui(t)为输入电压,uo(t)为输出电压,K0运放的放大倍数。CRui(t)uo(t)AKo)()(tudttduRCio列写系统微分方程的步骤1.将系统划分为各个环节,确定各环节的输入信号和输出信号;2.根据物理定律或实验方法,列出各环节数学模型,并考虑简化和线性化;3.各环节联立,消去中间变量,最后得出输入输出变量以及其它参量的系统微分方程;4.单输入单输出的线性微分方程可表示为)()()()()()()()(1111011110txbdttdxbdttxdbdttxdbtyadttdyadttydadttydammmmmmnnnnnn系数由系统结构参数决定。由于实际系统中总含有惯性元件以及受到能源能量的限制,m=n2.2微分方程的线性化线性系统最重要的特点是可以运用叠加原理:若干个输入作用在系统中的总响应等于各输入单独作用于系统的响应之和。然而严格地说,实际物理元件和系统都是非线性的。叠加原理不适用于非线性系统,这给求解非线性系统带来不便,因此需要对所研究的系统作线性化处理。图示为连续变化的非线性函数y=f(x)线性化方法是:把非线性函数在工作点x0附近展成泰勒级数,略去高次项,便得一个以增量为变量的线性函数:202200)())((!21)())(()()(00xxdxxfdxxdxxdfxfxfyxx当增量(x-x0)很小时,略去其高次幂项,则)())(()()(0000xxdxxdfxfxfyyxxkxdxxdfyx0))((0)(xdxxdfk是比例系数,它是函数f(x)在工作点A点的切线斜率。将线性增量方程代入系统微分方程,便可得系统线性化方程。同理可得,多变量非线性函数),,(21nxxxfy在工作点),,(02010nxxx附近的线性增量函数为nxxxnxxxxxxxxfxxfxxfynnn020100201002010,,2,,21,,1液压系统阀控缸部分:输入量是阀芯位移xv输出量是活塞及负载位移y由流体力学知,液压缸的负载流量qL是阀芯位移xv和负载压力pL的双变量非线性函数,),(LvLpxfq将上式在某工作点xv0附近展开为Taylor级数,忽略高次项qK流量增益cK流量-压力系数增益LcqLpKxKq由于液压油作用是连续的,根据连续性方程得dtydAqL)(22dtydmApL得xKdtydAdtydmAKqc22线性化总结1)线性化是相对某一工作点,工作点不同,线性化方程的系数也不同;2)偏差愈小,线性化精度愈高;3)线性化适用于连续变化的单值函数。2.3Laplace变换和逆变换2.3.1Laplace变换的定义2.3.2典型函数的Laplace变换2.3.3Laplace变换的的性质2.3.4Laplace逆变换2.3.5用Laplace变换求解常系数线性微分方程2.3.1Laplace变换的定义设函数x(t),满足有界时时)(00)(0txttxtdtetxts0)(其中x(t)为时间t的函数,在每个有限区间内连续或分段连续,则x(t)的Laplace变换定义为0)()]([()(dtetxtxLsXst式中s—复变数,且x(t)—X(s)的原函数;X(s)—x(t)的Laplace变换(或称为象函数)js1)2)2.3.2典型函数的Laplace变换1.单位阶跃函数1(t)0100)(1ttt则sesdtettLstst11)(1)](1[002.指数函数ateasdtedteeeLtasstatat1][0)(03.脉冲函数(t)1)]([tL4.正弦和余弦函数22][sinstL22][cossstL2.3.3Laplace变换的的性质1.叠加性)()]([)()]([2211sFtfLsFtfL)()()]()([2121sbFsaFtbftafL若则2.微分性原函数f(t)的导数的Laplace变换)0()()]([fssFtfdtdLf(t)的n阶导数的Laplace变换)0()0()0()0()()]([)1()2(21nnnnnnnfsffsfssFstfdtdL若f(t)及各阶导数的初值均为0,即0)0()0()0()0()1()2(nnffff)()]([sFstfdtdLnnn则3.积分定理:原函数f(t)的积分的Laplace变换sfssFdttfL)0()(])([1式中01)()0(tdttff4.位移定理)()]([asFtfeLat5.延迟定理)()](1)([sFeatatfLas6.初值定理若函数f(t)的Laplace变换为F(s),且)(limssFs存在,则时间函数f(t)的初始值)(lim)(lim0ssFtfst7.终值定理若函数f(t)的Laplace变换为F(s),且)(limtft存在,则原函数f(t)的稳态值)(lim)(lim0ssFtfst8.比例尺的改变)()]([asaFatfL)(1)]([asFaatfLdssdFttfL)()]([nnnndssFdtftL)()1()]([9.时间乘函数的Laplace变换2T1T0Af(t)3Tt2A3A4A例2-16求如图所示的阶梯曲线的Laplace变换。解根据图示的阶梯曲线可得阶梯函数的表达式为f(t)=A[1(t)+1(t-T)+1(t-2T)+1(t-3T)+…]对阶梯函数f(t)进行Laplace变换得)1()1111()]([3232sTsTsTsTsTsTeeesAesesessAtfL当Re(s)0时,有1sTe)2coth1(2111111)]([22sTsAeesAesAtfLsTsTsT2.3.4Laplace逆变换Laplace逆变换公式为dsesFjtfstjaja)(21)(简写)]([)(1sFLtf直接通过积分求Laplace逆变换通常很繁锁,对于一般问题都可以避免这样的积分,利用Laplace变换表2-1,查表求原函数。对于一般的控制系统,可以用通用有理分式表示)()()()(1111110mnasasasbsbsbsbsNsMsFnnnnmmmm使分母为零的s值称为极点,使分子为零的点称为零点。根据实系数多项式分解定理,分母有n次多项式,则必然有n个根,因此F(s)可分解为glkggkrrrrmmmmdscsdscspspspsbsbsbsbsF)()()()()()(2112211110121其中nkkkrrrgl)(22121对于F(s)这类分式,一般采用部分分式展开法求解Laplace逆变换。1)只含单极点的情况nnnnmmmmasasasbsbsbsbsF1111110)()())((211110nmmmmpspspsbsbsbsbnnpsapsapsa2211式中ka为常数,kpskkpssFa))((将ka代入F(s)的表达式并进行Laplace逆变换得)()]([)(21211tpntptpneaeaeasFLtf例2-19求233)(2ssssF的Laplace逆变换解21)2)(1(3233)(212sasasssssssF其中2)1()2)(1(311sssssa1)2()2)(1(322sssssa2112)(sssF因此tteessLsFLtf2112]2112[)]([)(2)含有共轭复数极点的情况nnpsapsajsjsasasNsMsF3321))(()()()(将上式两端同乘(s+jsj,同时令s=--j或s=-+j得jsjsjsjssFasa]))()(([)(21即可得21,aa2221)(sasa可以通过配方,化成正弦或余弦函数的象函数,然后求其Laplace逆变换。例2-20求sssssF231)(的Laplace逆变换解sassasasssssF32212311)()2321)(2321(12jsjsss将F(s)两端同乘12ss并令2321js2321212321)(1jsjsasass)23(212321121ajaaj12123232121aaa0121aa解得1])1(1[023ssssssassssssssF1)23()21(2333)21(11)(222123sin3323cos)]([)(21211tetesFLtftt3)多重极点的Laplace逆变换)()()()()()()()()()()()(2211111121kkrrrrkrpsbpsbpsapsapsapspspssMsNsMsF1]))(([1psrrpssFa1]))(([11psrrpssFdsda1]))(([!211222psrrpssFdsda1]))(([!11psriiirpssFdsdia1]))(([)!1(11111psrrrpssFdsdra根据Laplace逆变换表可得tpiieitpsL1)!1(])(1[111由此可得多重极点的Laplace逆变换。例2-21求32)2(52)(ssssF的Laplace逆变换解)2()2()2()2(52)(1223332sasasassssF5)2()2(5223323sssssa2)2()2(5223322sssssdsda1)2()2(52!22332221sssssdsda)2(1)2(2)2(5)(23ssssFtetttf22)1225()(2.3.5用Laplace变换求解常系数线性微分方程例2-23求方程teyyy3.2..满足初始条件0)0(.,1)0(yy的解。解对方程两端进行Laplace变换,并将初始条件代入得11)(3)]0()([2)]0()0()([.2ssYyssYysysYs)3)(1)(1(33)(2ssssssY将Y(
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