武汉理工大学控制工程第三章时域分析法

控制工程基础——时域分析法——测控技术与仪器系黄安贻027-87858193(O)[e-mail]控制工程基础——时域分析方法的实质直接解系统的运动微分方程式时间域的微分方程拉氏变换复数域的代数方程复域解时域解拉氏反变换瞬态解自由解瞬态响应稳态解强迫解稳态响应时域问题变换方法复域问题控制系统的时域分析就是在时间域内，直接求解描述系统性能的运动微分方程或动态方程，它们的解就是系统的输出响应，亦称为时间响应。3.1控制系统的时间响应控制工程主要研究系统的零状态响应。一零状态响应和零输入响应控制系统的时间响应零状态响应零输入响应仅有激励而初始状态为零的响应仅有初始状态而激励为零时的响应若将系统的初始状态看成系统的另一种输人激励，则对于线性系统，根据系统的线性特性，其输出总响应必然是每个输入单独作用时相应输出的叠加。☆系统的零状态响应等号右边的第一项是系统的自然响应，其变化规律只取决于系统函数G的极点在s平面的位置，体现了系统本身的特点，与激励函数的形式无关，其中的每一项称为自然响应模式；第二项是系统的强迫响应，其变化规律只取决于输入激励u的极点在S平面的位置，即输入信号的性质。但是待定系数与G和u的零极点分布都有关系。)()(1susGynkkmjjpszsKsG11)()()(viiullpszssu11)()()(nkviiikkpscpscsy111)(tpnkviitpkikececsYLty11111)]([)(零状态响应为：设系统输入为：设系统传递函数为：若函数中不含有多重极点，可展成部分分式:取拉氏反变换，得到零状态响应:零状态响应的模式由系统G（s）和输入u（s）的极点共同确定。☆瞬态响应和稳态响应若u(s)的极点实部大于或等于零，或者极点在原点，仍假定G(s)具有负实部的极点，在此情况下，自然响应就是瞬态响应，强迫响应就是稳态响应。根据微分方程理论，系统的强迫响应的函数结构与微分方程的右函数（自变量）结构相同，即与输入信号结构相同。二瞬态响应和稳态响应系统的完全响应y(t)还可以分为瞬态响应和稳态响应。随着时间t的增大而衰减为零的部分为瞬态响应，其余部分为稳态响应。瞬态响应与G(s)和u(s)都有关系。当G(s)和u(s)的极点都在S域左半平面时，瞬态响应等于自然响应与强制响应之和，稳态响应等于零。☆系统的时间响应3.2控制系统时间响应的求解ssR1)()2)(1(51235)()()(2sssssssRsGsY21)(321sasasasY一基于传递函数的输出响应求解实质：用拉普拉斯反变换求解系统运动微分方程求系统的零状态响应，可按下列步骤进行：(1)设初始条件为零，对高阶微分方程进行拉氏变换；(2)求解关于s的代数方程，得输出响应的拉氏变换Y(s)；(3)对y(s)进行部分分式展开；(4)取反变换后，得到y(t)。例1已知系统的传递函数，输人为单位阶跃函数，初始条件均为零。求系统的输出响应。235)(2sssG解：根据传递函数定义有：阶跃输入的拉氏变换为：部分分式展开：基于传递函数的输出响应求解)])(([limipsipssYai5.2)2)(1(501sssa待定系数的求法：用乘上式两边，取s→pi的极限。)(ips注意：系统传递函数的两个极点在指数上。第一项是稳态响应，是阶跃函数；后两项是瞬态响应，因系统极点具有负实部，随着时间的增加将逐渐衰减为零。极点距s平面虚轴越远衰减越快。结论：系统极点决定了系统瞬态响应的特性。5)2(512sssa5.2)1(523sssa25.2155.2)(ssssYtteety215.255.2)(取反变换后，得到y(t)系统的零点对响应的影响可见，尽管这两个系统的极点相同，但由于零点不同，它们的响应截然不同，系统1有超调。2324)(21ssssG2325.1)(22ssssGtttteetyeety22215.05.01)(321)(例2已知两个系统的传递函数单位阶跃响应分别为系统的零点影响系统响应曲线的形状。结论2324)(21ssssG2325.1)(22ssssG3.3控制系统动态性能分析控制系统必须具有良好的动态特性，从而使系统能迅速跟踪参考输入信号，并且不产生剧烈的振荡。因此，对系统动态性能进行分析，改善瞬态响应是自动控制的核心工作。为了衡量系统的动态性能，同时能对不同系统的性能进行比较，通常采用单位阶跃函数作为测试信号。相应地，系统的响应称为单位阶跃响应。任何复杂系统都是由简单的一阶、二阶系统组成任何复杂信号都是由简单信号叠加而成的—傅立叶级数线性稳定系统响应输入的微分(积分)响应的微分(积分)输入脉冲函数阶跃函数加速度函数速度函数积分积分微分一低阶系统的阶跃响应分析（一）一阶系统的阶跃响应)()()(trtytyTT11)()()(TssRsYsGTs1举例特点：有一个蓄能元件，含时间常数，具有惯性，输出滞后输入。)()()(),()()(tututuCRtxtxtxKCiooiootToetx11)(Tt632.01)(1etxoTeTtxdtdttTo11)(01响应分析：：时间常数一阶系统的脉冲响应因为单位脉冲函数的拉氏变换为1，所以TsTsGsXo11)()(记系统的单位脉冲响应函数为g（t），那么TteTtg1)(TteTtg21)(00-0.0180.0184T-0.1350.1352T-0.3680.368T0t)(tg)(tgT1T1T1T121T21T21T21T一阶系统时域指标：一阶系统对单位阶跃输入的响应达到稳态值的98%所对应的时间为系统的过渡过程时间，为4T。一阶系统对单位脉冲输入的响应达到初始值的2%所对应的时间为系统的过渡过程时间，为4T。(二)二阶系统的阶跃响应二阶系统结构如图二阶系统闭环传递函数为2222)()()(sssRsYsWnn注意典型环节与系统的联系与区别二阶系统开环传递函数为)2()()(2nnsssHsG1.二阶系统的传递函数2.二阶系统闭环极点的分布)1(1222,1nnnnnjjs11100根据系统阻尼比ζ的值，二阶系统有：由图可知1cos3.二阶系统的响应曲线⑴系统在s左半平面上有一对共轭复数极点①欠阻尼系统)arccossin(11)(2tetydtn欠阻尼系统的瞬态响应是正弦衰减振荡，衰减的快慢与系统极点的负实部有关，距虚轴越远，衰减越快；振荡频率取决于极点的虚部。阻尼比影响振荡的程度。注意极点的负实部在指数上，虚部是振荡频率。3.二阶系统的响应曲线⑵ttyncos1)()1(1)(tetyntn211211211)(2222sseety②无阻尼系统有一对共轭虚极点，响应是等幅振荡曲线③临界阻尼系统④过阻尼系统两个相同的负实数极点，两个相同的惯性环节的串联有两个负实数极点单调上升曲线单调上升但不会超过稳态值，响应是非振荡的。两个极点中离s平面原点较远的极点对应的瞬态分量幅值较小，衰减较快。随着阻尼比的增大，其中一个极点将越来越远离s平面原点，其幅值越来越小，衰减越来越快；而另一个极点越来越靠近原点，其幅值越来越大，衰减越来越慢。当阻尼比ζ》1时，式右边最后一项可以忽略，二阶系统可以用靠近原点的那个极点所表示的一阶系统来近似分析。4.系统阶跃响应的特点分析①响应特性与闭环极点位置有关②响应的快慢与极点距离虚轴的远近有关③阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn确定了系统动态特性闭环极点具有负实部，时间趋向无穷大时，瞬态响应趋于零，系统稳定。极点距离虚轴近，对应的响应模式衰减慢；距离越远衰减越快。阻尼比ζ确定了系统响应振荡特性—响应平稳性。ζ越小，响应振荡越剧烈；ζ越大，响应越缓慢呆滞。无阻尼自然频率ωn确定了系统瞬态响应过程时间的长短—响应快速性。ωn越小，即时间常数T越大，响应就慢，反之，ωn越大，即时间常数T越小，响应就越快。响应快速性与响应平稳性是相互矛盾的。共轭复数极点：衰减正弦振荡曲线，系统稳定。负实数极点：响应是单调上升曲线，系统稳定。共轭虚极点：等幅振荡曲线，系统临界稳定。二高阶系统的时域响应qjrknknkjmiisspszsKsRsC11221)2()()()()(不失一般性，高阶系统的闭环传递函数可表示为：当输入为阶跃函数时，输出可表示为：rqn2其中，rknknkkknkknkkkqjjjssCsBpsAsAsC12221021)()(通过拉氏反变换，输出响应可表示为：01sin1cos)(121210tteCteBeAAtcrkknktkrkknktkqjtpjnkknkkj1.闭环主导极点当某极点（一对共轭极点）离虚轴很近，其余极点实部之模大于该极点（该对共轭极点）实部模的5倍以上时，则其他极点对应的响应持续时间很短，系统输出响应可以近似地视为该极点（该对共轭极点）所产生，其余极点对应的响应可以忽略不计。该极点（该对共轭极点）称为系统的闭环主导极点。据此，假如闭环主导极点附近没有闭环零点时，可以消去其他远极点而实现对系统的降阶。须注意保持系统稳态增益不变。2.偶极子假如某极点与某零点很近，那么由该极点产生的响应的将很小，因而该响应分量在全部响应中所占的“比重”也必然很小，可以忽略不计。这对零点和极点称为偶极子。高阶系统降阶时可以同时取消偶极子，但须注意保持系统稳态增益不变。kplzkA3.高阶系统降阶举例已知系统的闭环传递函数为：)22)(10)(2()1.2(048.19)()(2ssssssRsC四个闭环极点为：10,2,11432,1ppjp单个闭环零点为：1.2z消去偶极子和远极点后得到：)22(2)22(11021.2048.19)()(22sssssRsC三用Matlab求系统响应步骤1：启动Matlab步骤2：设置工作文件路径步骤3：打开文件编辑窗口，输入、编辑文件并存盘。下图示例中传递函数为：16416)()(2sssRsC步骤4：运行文件，显示结果。例2)22)(10)(2()1.2(048.19)()(2ssssssRsC降阶前后阶跃响应对比。四控制系统时域动态性能指标最大超调量:相对稳定性,响应平稳性,阻尼程度时间指标：响应的快速性。注意：响应的平稳性与快速性是相互矛盾的。)(,),(,,,fMfttttppnsprd1.时域动态性能指标概念与定义线性控制系统典型的单位阶跃响应曲线延迟时间td：系统阶跃响应达到稳态值50%所需的时间。上升时间tr：系统阶跃响应从稳态值的10%第一次达到稳态值的90%所需的时间。1.时域动态性能指标概念与定义峰值时间tp：响应曲线第一次到达最大峰值所需时间。调节时间ts：系统阶跃响应曲线进入并保持在稳态值±Δ%允许误差范围内的最小时间。±Δ%取稳态值的±2%或±5%，根据系统所完成的任务而定。调节时间又称调整时间、过渡过程时间。%100)()()(cctcp超调量σ：又称最大超调量，反映系统响应振荡的剧烈程度。振荡次数N：在调节时间ts内，响应曲线振荡的次数。在上述指标中，调节时间和超调量反映了对系统动态性能最重要的要求：响应快速性和相对稳定性。2.欠阻尼二阶系统时域性能指标计算只有二阶系统可以推导出上述性能指标的解析式，其他系统只能从响应曲线、仿真结果中获取相应指标数值。延迟时间、上升时间、峰值时间和