量子力学试卷B(2007级)

武汉理工大学考试试题纸（B卷）课程名称量子力学专业班级电子0701－03题号一二三四五六七八九十总分题分15201550100备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)一、选择题（只有一个正确答案，每题3分，共15分）1、已知做直线运动的粒子处于状态1Cxix，则归一化常数C为（）（A）1（B）1（C）1（D）2、设粒子归一化波函数为,,r，则粒子在球壳,rrdr中被测到的几率为（）（A）2200sindddr（B）22200sinddrdr（C）2200sindddr（D）22200sinddrdr3、在2,mY态中，ˆzL的可能测值为（）（A）2,,0,,2hhhh（B）2,2（C）2,,,2（D）2,,0,,24、在光的照射下，原子从低能级跃迁到高能级，这种现象称为（）（A）受激辐射（B）自发和受激吸收（C）光的吸收（D）自发辐射5、金属中的电子气Fermi能量fE与电子气密度的关系为：（）（A）2/3fE（B）2fE（C）1/3fE（D）fE二、填空题(每空2分，共20分）1、在量子力学中，力学量通常用算符表示，在坐标表象中，动量变为动量算符即ˆp，在动量表象中，坐标变为坐标算符，即ˆr。2、线性厄米算符的性质是：（1）线性厄米算符的本征值必为；（2）线性厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此；3、具有半整数自旋的全同粒子体系用反对称波函数来描述，这种粒子遵循统计，称为。4、在利用正则方程处理电磁场中带电荷为q的粒子的运动状态时，需要利用粒子正则坐标和正则动量，粒子正则动量P与粒子的机械动量p之间的关系式为，根据量子力学中的正则量子化程序，应该把动量变成算符。5、变分原理在于：根据具体问题在物理上的特点，先提出波函数，然后在该波函数下求能量平均值，最后对能量平均值求。三、证明题（共15分，要有具体证明步骤，否则不给分）（1）在一维谐振子中，可以引入升降算符来计算系统的本征值，已知升降算符的表达式为a，a，n表示写振子的能量本征态。证明：11annn（10分）（2）证明：ˆˆˆ,xyzLLiL（5分）四、计算题（第1、2题各15分，第3、4题各10分,要求有具体计算步骤）1、在一维无限深势阱〔0,a〕中，粒子处于第一激发态，即n＝2，求（1）粒子位置x的平均值x、2x及位置不确定度（涨落）x；（2）粒子动量p的平均值p、2p及动量不确定度（涨落）p；（3）计算动能平均值（15分）2、考虑一个具有三维态空间的物理体系，在态空间选定一组正交归一化基，在这组基下，Hamilton量可以用矩阵210120003H表示，（1）当测量系统的能量时，可能的结果是什么？（2）一个粒子处于，用这组基表示为13iii，求H，2H和H（１５分）3、两个自旋为1/2的粒子组成的系统由等效哈密顿量：1212()zzHASSBSS描述，其中1S，2S是二个自旋，1zS，2zS是它们的Z分量，A和B为常数。求该哈密顿量的所有能级。（10分）4、在0t时刻，氢原子处于状态234111,0232rcrrr式中nr为氢原子的第n个能量本征态。计算0t时能量的取值几率与平均值，写出0t时的波函数。（10分）武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸|课程名称—量子力学——（B卷）|一、选择题（每题3分，共15分）装1.C2.B3.D4.C5.D|二、填空题(每空2分，共20分）1.i，pi2.实数正交3.费米－狄拉克费米子4.qpPAc正则动量5.试探极值三、证明题（共15分）（1）证明：令1ann则其共轭式为*1nan，与上式两边分别作用得（2分）*11naannn利用aannn,1aa和mnmn（5分）等式左边=111naannnnn等式右边=2221111nnnn故1n，所以11annn（3分）（2）证明：ˆˆˆxzyLypzpˆˆˆyxzLzpxpˆˆˆzyxLxpyp（2分）ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,,,ˆˆˆˆˆˆˆ,00,xyzyxzzxzzyxzzzxyzyxzLLypzpzpxpypzpypxpzpzpypxpypzppzpxixpypiL利用动量分量彼此对易和ˆ,zzpi（3分）四计算题（第1、2题各15分，第3、4题各10分，要求有具体计算步骤）1、解：一维无限深势阱中，粒子处于第一激发态的波函数为222sinxxaa（2分）（1）粒子坐标的平均值：*2220022sin2axaxxxxdxxdxaa2*2222222002211sin38axxxxxdxxdxaaa22211128xxxa（5分）（2）动量的平均值：**222200ˆ0dpxpxdxxixdxdx2222*2*2222222004ˆdpxpxdxxxdxdxa222pppa（5分）（3）粒子动能为22pEm，则有2222422pEmma（3分）2、解：（1）Hamilton量满足的本征方程为2102101201200003003aaabbbccc非零解的条件为2210120310003（6分）即12331是可能的能量本征值，能量有简并。（2）210115120333003iHHHiiiii（3分）22222101111120333003iHHHiiiii（3分）22223HHH（3分）3、解：选2212()SSS与12zzzSSS的共同本征态sSM。当1S，0,1SM是三重态，对二电子交换对称。0S，0SM是单态，对二电子交换反对称。（2分）首先有2222121212212()2322SSSSSSSSS定态方程为ssSMSMHE因为22211002,0ssMMSS所以222121113()44sssMMMSS212000034SS又1121100()0ssszMzzMsMzSSSMS（4分）对三重态能级为2,0,14ssEMABM分为三条：222123,,444EABEBEAB（3分）对单态能级仅一条：2034EB（1分）4、解：氢原子的本征解为42212neEn（2分）由波函数归一化条件可知归一化常数为1211132322c（2分）不为零的能量取值几率为24331;84WEWEWE能量平均值为4243231167842304eEEEE（2分）当0t时，波函数为223344313,expexpexp828iiirtrEtrEtrEt=444234333313expexpexp88218832iiiretretret（4分）