高一抽象函数模型化(定稿)教

1高一数学培优——抽象函数（教）抽象函数常见题型解法一、定义域问题例1.已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是［1，4］例2.已知函数的定义域是，求函数的定义域。解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是例3.函数yfx()的定义域为(]，1，则函数yfx[log()]222的定义域是___。分析：因为log()22x相当于fx()中的x，所以log()2221x，解得22x或22x。二、求值问题例3.已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；②，求f(3)，f(9)的值。解：取，得因为，所以又取得2.f(x)的定义域为(0,)，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2，则(2)f（12）例4.定义在R的函数()fx满足()()()2fxyfxfyxy，(1)2f，则(3)f等于（）A．2B．3C．6D．9法二：(3)(1)(2)43(1)6,0(0)(11)(1)(1)2(1)fffffffff所以(3)6f法三：20(0)()()()2ffxxfxfxx(1)(1)2ff(1)0f(2)2(1)26ff(3)(1)(2)412fff2(3)(3)23(3)6fff2二.求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例：奇函数()fx在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0fmfm的实数m的取值范围。解：由2(1)(1)0fmfm得2(1)(1)fmfm，∵()fx为函数，∴2(1)(1)fmfm又∵()fx在（-1，1）内递减，∴221111110111mmmmm变式：（较难）已知fx()是定义在（11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足fafa()()2402，试确定a的取值范围。解：fx()是偶函数，且在（0，1）上是增函数，fx()在()10，上是减函数，由1211412aa得35a。（1）当a2时，fafaf()()()2402，不等式不成立。（2）当32a时，fafafaaaaaa()()()24412014024322222解之得，（3）当25a时，fafa()()242faaaaaa()22240210412425解之得，综上所述，所求a的取值范围是()()3225，，。五、单调性问题3例.设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。证明：在中取，得若，令，则，与矛盾所以，即有当时，；当时，而所以又当时，所以对任意，恒有设，则所以所以在R上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。变式：.定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当x0时，0f(x)1。（1）判断f(x)的单调性；解：（1）在中，令，得，因为，所以。在中，令因为当时，所以当时而所以又当x=0时，，所以，综上可知，对于任意，均有。设，则所以所以在R上为减函数。评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题，二是f(x)0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。六、奇偶性问题4根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求fx()与fx()的关系。例.已知fx()的定义域为R，且对任意实数x，y满足fxyfxfy()()()，求证：fx()是偶函数。分析：在fxyfxfy()()()中，令xy1，得ffff()()()()11110令xy1，得ffff()()()()11110于是fxfxffxfx()()()()()11故fx()是偶函数。变式.已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f(x)的奇偶性。解：取得：，所以又取得：，所以再取则，即因为为非零函数，所以为偶函数。所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法。常见的抽象函数对应的初等函数模型如下:初等函数模型抽象函数性质正比例函数()(0)fxkxk()()()fxyfxfy一次函数()(0)fxkxbk()()()fxybfxfy二次函数2()fxaxbxc（a≠0）f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c5指数函数()(01)xfxaaa且()()()()()()fxfxyfxfyfxyfy或对数函数()log(01)afxxaa且()()()()()()xfxyfxfyffxfyy或幂函数()nfxx()()()()()()xfxfxyfxfyfyfy或（备注：解小题可用具体函数，解大题得赋值（要求书写格式），只能通过赋值解决问题。）一．以正比例函数为模型的抽象函数正比例函数ykx是满足函数恒等式()()()fxyfxfy的最常见的模型。若我们能从这个具体的模型出发，根据解题目标展开联想，给解题带来了思路。例1、已知函数()fx对任意实数,xy，均有()()()fxyfxfy，且当0x时，()0fx，(1)2f，求()fx在区间[－2，1]上的值域。分析：由题设可知，函数()fx是(0)ykxk的抽象函数，因此求函数()fx的值域，关键在于研究它的单调性。解：设，∵当，∴，∵，∴，即，∴f（x）为增函数。在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，∴f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2f（－1）＝－4，∴f（x）的值域为［－4，2］。6例2已知函数fx()对任意实数xy，都有fxyfxfy()()()，且当x0时，fxf()()012，，求fx()在[]21，上的值域。解：设xx12且xxR12，，则xx210，由条件当x0时，fx()0fxx()210又fxfxxx()[()]2211fxxfxfx()()()2111fx()为增函数，令yx，则ffxfx()()()0又令xy0得f()00fxfx()()故fx()为奇函数，ff()()112，ff()()2214fx()[]在，21上的值域为[]42，10、已知函数()()yfxxR对任意非零实数12xx、都有1212()()()fxxfxfx，且0x时()0fx,1(1)4f。（1）试判断函数()fx的奇偶性；（2）求函数()fx在[3,3]上的值域；（3）解不等式23(2)12fxx。10、解：（1）令121,(1)0xxf再令121,(1)0xxf令12,1xxx，得()()fxfx()fx为偶函数（2）(16)4,(44)2(4),(4)2(22)2(2)2,(2)1fffffff又22312(1)022xxx且()fx在0,上是单调递增函数72233(2)1(2)(2)22fxxfxxf23222xx解得262622xx或故不等式的解集为2626,,22二、以一次函数为模型的抽象函数一次函数y=ax+b是满足函数恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）-b的最常见的模型。例5已知函数fx()对任意xyR，有fxfyfxy()()()2，当x0时，fx()2，f()35，求不等式faa()2223的解集。分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。解：设xxR12、且xx12则xx210fxx()212，即fxx()2120，fxfxxxfxxfxfxfxfx()[()]()()()()()22112111212故fx()为增函数，又fffff()()()()()3212123145ffaafaaa()()()1322312211322，即因此不等式faa()2223的解集为aa|13。8以指数函数为模型的抽象函数由指数函数的性质知)1,0(aaayx是满足恒等式()()()()()()fxfxyfxfyfxyfy或的重要函数之一。例5、设函数()fx的定义域为R，且满足对任意xyR、，有()()()fxyfxfy，且当0x时，0()1fx。（1）求(0)f的值；（2）判断()fx的单调性并证明的你的结论；解：（1）令1,0,(0)1xyf（2）任取12xx令,()()1yxfxfx0,0()110()10()(0)1()0xfxxfxfxffx当时，又所以，令212121,()()()xyxxxfxfxfxx21121()()()()10fxfxfxfxx（或11221221122()(())()()()0()1()fxfxxxfxxfxfxfxxfx）函数()fx在R上单调递减。变式：已知函数()fx对于一切实数x、y满足f(0)≠0，()()()fxyfxfy，且当x0时，()fx＞1（1）当x＞0时，求()fx的取值范围（2）判断()fx在R上的单调性分析：由()()()fxyfxfy可知f（x）是指数函数()(01)xfxaaa且的抽象函数，从而可猜想01a解：（1）对于一切x、y∈R，()()()fxyfxfy且f(0)≠0令x=y=0，则f(0)=1，现设x＞0，则-x＜0，∴f(-x)＞1又f(0)=f(x-x)=()fx()fx=1∴()fx=)(1xf＞1∴0＜()fx＜1（2）设1x2x，1x、2x∈R，则1x－2x0，f(1x－2x)＞1且9)()()()()()()()(212221222121xxfxfxfxxfxfxxxfxfxf＞1∴12()()fxfx，∴f(x)在R上为单调减函数六、以对数函数为模型的抽象函数由对数函数的性质知()log(01)afxxaa且是满足恒等式()()()()()()xfxyfxfyffxfyy或的重要函数之一。例、已知函数()fx定义域为(0,+∞)且单调递增，满足()()()fxyfxfy，f(4)=1（1）证明：f(1)=0；(2)求f(16)；（3）若()fx+f(x-3)≤1，求x的范围；分析：由()()()f