高一第一学期知识点梳理

第一章集合与命题一、集合1、集合的概念及表示法集合元素的三条特性：确定性，无序性，互异性。【例一】1、已知集合22,1Aaa，求实数a的取值范围。2、已知集合22,3,42Aaa，20,7,42,2Baaa，且7A，求集合B。元素与集合的从属关系，常见数集的表示。注意空集“”集合的常用表示方法：列举法，描述法，图示法，区间表示（限数集）。注意描述法的表达格式以及代表元的表征模式。集合的分类：点集a、数集(),ab2、集合的关系子集、真子集、集合相等的概念及其判别，集合与集合的（真）包含关系。注意空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。【例二】1、若6Mmm，23a，23b则a、b与M的关系分别是什么？2、已知集合260Axxx，集合10,ByayaR，且BA，求实数a的值所形成的集合。3、已知集合,,2Aaadad，2,,Baaqaq，其中,,adqR，若AB，求q的值。4、已知集合24,AxxxR，集合22320,BxxaxaxR。若BA，求实数a的取值范围。（真）子集个数问题：n元集合的子集个数为2n，真子集及非空子集个数为21n，非空真子集个数为22nM是m元集合，N是n元集合，（mn）则满足下列条件的集合X个数为：(1)MXN：2nm；(2)MXN：21nm(3)MXN：21nm；(4)MXN：22nm3、集合的运算非连续数集题型：【例三】1、已知集合2(,)1,AxyyxxR，2(,)21,BxyyxxR，求AB.注意点集求交：联立求交点2、已知全集{|9}Uxx是不超过的自然数，={3,6,8}UABð，={2,5,9}UABð，(){1,7}UABð，则A=___________，B=___________.利用文氏图求解3、已知2{,21,1}Mxxx＝，2{1,-3,1}Nxx＝，且{0,3}MN，则x=_______。不仅要检验是否满足互异性，还要验证已知条件4、设2{|(23)30,}AxxaxaaR，22{|(3)30,}BxxaxaaaR，若AB，AB，试用列举法表示AB.由AB，AB得出两个方程有且仅有一个公共根连续数集的题型：利用数轴利用等价关系将集合运算问题转化为集合包含关系的讨论：ABABBABA；UUUUABABABAABB痧痧；UUUUABRBAABBABA痧痧.【例四】1、已知集合21,AyyxxR，2|21,ByyxxR，求AB2、已知集合1Uxx，集合24Ayy，集合15Bzz，求UCAB，UCBA。3、已知22,AxxxxxR，,11xxBxxxxR，20Cxaxxb，若ABC，ABCR，试求a、b的值．4、设2{|40}Axxx,22{|2(1)10}Bxxaxa,若ABB，求a的值5、已知关于x的不等式组22540(2)20xxxmxm的解集为，则实数m的取值范围为__________.6、设2{|32-,}AxyxxxR，{|-5}Bxxk，若UABBð，求实数k的取值范围.7、设2{|20}Axxx，{|-3}Bxxk，若ABR，求实数k的取值范围.二、四种命题形式1、命题与推出关系命题真假的判断，推出关系的传递性2、四种命题形式与等价命题四种命题形式，否命题与命题的否定形式的区别，等价命题，逆否命题的等价性常用逻辑判断词的否定形式：原式否定式原式否定式是不是=≠任意存在//全/都没有一个不不全/都至少一个不全/都不没有一个是至多0个至少一个不包含于=或不真包含于至多n个至少n+1个&or一定不可能or&【例五】1、已知命题p的逆命题为“若实数a、b满足a=1且b=2，则a+b4”.试写出命题p的否命题，并判断命题p的真假.2、判断命题“若8ab，则3a或5b”的真假.3、设命题p：不等式|21|xxa的解集为1{|3}3xx，命题q：不等式2441xax的解集为，若p和q中只有一个为真命题，试求a的值的取值范围三、充分必要条件1、充分必要条件充分、必要条件的判定：（注意语序）本质上转化为对于推出关系的判定2、充要条件充要条件的充分、必要性证明3、子集与推出关系命题间的推出关系，充分必要条件，转化为集合间包含关系；αβ,αβα是β的既非充分又非必要条件αβα是β的充要条件αβ,αβα是β的必要非充分条件αβ,αβα是β的充分非必要条件四种命题形式集合关系图示推出符号充分条件必要条件A（B）ABAB如果α，那么β.F如果β，那么α.T如果α，那么β.T如果β，那么α.FBA如果α，那么β.T如果β，那么α.T如果α，那么β.T如果β，那么α.T如果α，那么β.T如果β，那么α.F如果α，那么β.F如果β，那么α.T如果α，那么β.F如果β，那么α.F如果α，那么β.F如果β，那么α.FBA【例六】1、若,abR，则()0abab成立的一个充要条件是()(A)0ab；(B)0ba；(C)0ba；(D)11ba.2、命题“22ab”是命题“||ab”的__________条件.3、已知p是r的充分条件而不是必要条件，s是r的必要条件，q是r的充分条件，q是s的必要条件。现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；④sp是的必要条件而不是充分条件；⑤r是s的充分条件而不是必要条件；则正确命题序号是4、已知“1a且1b”，则与此命题等价的是（）A“21abab且”；B“20ab且”；C“00ab且”；D“a110110bab且”5、若111222,,,,,abcabc均为非负实数，不等式21110axbxc与22220axbxc的解集分别为M、N，则“111222abcabc”是“MN”的()条件.(A)充分非必要；(B)必要非充分；(C)充要；(D)既非充分又非必要.6、设)0(0:aax，ax210:，若是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是.7、“不等式22(2)0(0)axabxbb成立”的充分条件是“2x或3x”，则实数a、b的取值范围分别是.第二章不等式1、不等式的基本性质1）传递性质：ba，cacb；2）加法性质：cbcaba；3）乘法性质：cbcacba0,；4）倒数性质：1100abab；1100abab5）同向加法：dbcadcba,；6）同向乘法：bdacdcba0,0；7）乘方性质：nnbaNnba*,0；8）开方性质：nnbaNnba*,0.减法与除法都应先转化为加法和乘法，再进行进一步运算，同时应关注到性质试使用的前提。【例一】1、若,xyR，则下列命题中正确的是（）A若22xy，则11;xyB若33xy，则11;xyC若22xy且0xy，则11;xyD若33xy且0xy，则11.xy2、已知三个不等式：10ab、2cdab、3bcad，以其中的两个不等式作为条件，另一个作为结论，则能得到的真命题的个数是.3、若23ab，20c，求()cab的取值范围.4、若,abR，求不等式1bax的解集.作差比较法的基本步骤：1．作差2.变形3.定号4.结论注意：必须指出等号成立条件.【例二】1、已知0ab，0m，则下列不等式中恒成立的是（）;bbmAaam;abmBbam;bbmCaam.aamDbbm2、已知,abR，比较abba与ab的大小3、若102a，设21Aa，21Ba，11Ca，11Da，试比较A、B、C、D的大小．2、不等式的解法一元二次不等式：二次项系数化正，整理成标准形式，避免错误.可以化为一元二次不等式：通法——换元法对于不等式2++0axbxc，其中2=xt，=xt，||xt等等解不等式组：本质——数集的取交运算图像与解ax2+bx+c＜0(a＞0)ax2+bx+c＞0(a＞0)ax2+bx+c=0(a＞0)b2-4acy=ax2+bx+c(a＞0)一元二次不等式一元二次方程判别式△二次函数△＞0△=0△＜0方程无解不等式解集为R(一切实数)不等式解集｛x|x≠x0,x∈R｝不等式解集为｛x｜x＜x1或x＞x2｝不等式解集为｛x｜x1＜x＜x2}解集为解集为x2=ab2△ab2△x1=x0=ab2高次不等式：数轴标根法，奇穿偶回，注意轴上端点取值分式不等式：移项通分，分式化整式，转化为一元二次或高次不等式求解，注意分母不为零含绝对值不等式：基本方法——根据绝对值的意义求解：-()()()()-()()()()()gxfxfxgxgxfxgxfxgx；()()()-()()()fxgxfxgxfxgx或；22()()()()gxfxgxfx.含两个或两个以上绝对值：分段讨论去绝对值，最后的结论要取并无理不等式：两边乘方，注意偶次方根式的非负性，以及被开方式的非负性含字母不等式的求解注意点：最高次项系数是否为零；二次不等式两根大小的比较；原始问题的隐含意义；讨论要不重不漏，最终结论不取并集【例三】1、解关于x的不等式：2(2)(-2)mxmx，其中mR2、解关于x的不等式：(1)(1)0axx，其中aR.3、解关于x的不等式：(1)12axx，其中aR.4、已知关于x的方程4322kxxk的解为非正数，则实数k的取值范围是.韦达定理，解集逆用利用方程与不等式的联系解题：不等式解集的端点，即为对应方程的根，或无意义点。结论：若一元二次方程2++=0axbxc的两根分别为1x和2x，则一元二次方程2-+=0axbxc的两根分别为1x和2x；一元二次方程2++=0cxbxa的两根分别为11x和21x；一元二次方程2-+=0cxbxa的两根分别为11x和21x.需要结合解集的特征（两根之间或两根之外，端点的正负）得出二次项系数与常数项的正负【例四】1、已知关于x的不等式()(23)0abxab的解集为1(,)3，则关于x的不等式(3)(2)0abxba的解集是.2、若不等式axx11的解集为xxx12或，则a=。3、已知不等式22600kxxkk．（1）若不等式的解是x＜-3或x＞-2，求k的值；（2）若不等式的解是1xk，求k的值．4、已知关于x的不等式02cbxax的解集为xx|其中0，则关于x的不等式20cxbxa的解集是.5、已知关于x的不等式02cbxax的解集为(2,3)，则关于x的不等式0cxbxa的解集是.恒成立问题结论：“02cbxax恒成立，即解集为R”“20axbxc恒不成立，即解集为”则00a；“20axbxc恒成立，即解集为R”“20axbxc恒不成立，即解集为”则00a；“20axbxc恒成立，即解集为R”“20axbxc恒不成立，即解集为”