高三一轮复习教学案二元一次方程与线性规划

§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域例1(1)若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是()A.73B.37C.43D.34(2)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．答案(1)A(2)x＋y－1≥0，x－2y＋2≥0解析(1)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx＋43过定点0，43.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋43能平分平面区域．因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D12，52.当y＝kx＋43过点12，52时，52＝k2＋43，所以k＝73.(2)两直线方程分别为x－2y＋2＝0与x＋y－1＝0.由(0,0)点在直线x－2y＋2＝0右下方可知x－2y＋2≥0，又(0,0)点在直线x＋y－1＝0左下方可知x＋y－1≥0，即x＋y－1≥0，x－2y＋2≥0为所表示的可行域．思维升华二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．(1)在平面直角坐标系中，若不等式组x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0(a为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a的值为()A．－5B．3C．5D．7(2)如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式____．答案(1)D(2)x＋y－10解析(1)直线ax－y＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A(1,0)，B(1，a＋1)，C(0,1)组成的三角形的内部(包括边界)，且a－1，则其面积等于12×(a＋1)×1＝4，解得a＝7.(2)边界对应直线方程为x＋y－1＝0，且为虚线，区域中不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足x＋y－10.题型二求线性目标函数的最值例2(1)(2014·广东)若变量x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤1，y≥－1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n等于()A．5B．6C．7D．8(2)(2013·课标全国Ⅱ)已知a0，x，y满足约束条件x≥1，x＋y≤3，y≥ax－3，若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________.答案(1)B(2)12解析(1)画出可行域，如图阴影部分所示．由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z.由y＝x，y＝－1，得x＝－1，y＝－1，∴A(－1，－1)．由x＋y＝1，y＝－1，得x＝2，y＝－1，∴B(2，－1)．当直线y＝－2x＋z经过点A时，zmin＝2×(－1)－1＝－3＝n.当直线y＝－2x＋z经过点B时，zmax＝2×2－1＝3＝m，故m－n＝6.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，由x＝1，y＝ax－3，得x＝1，y＝－2a，∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝12.思维升华线性规划问题的解题步骤：(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．(1)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2，y≤2，x≤2y给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM→·OA→的最大值为()A．3B．4C．32D．42(2)(2014·北京)若x，y满足x＋y－2≥0，kx－y＋2≥0，y≥0，且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为()A．2B．－2C.12D．－12答案(1)B(2)D解析(1)由线性约束条件0≤x≤2，y≤2，x≤2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z＝OM→·OA→＝2x＋y，将其化为y＝－2x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z最大，将点(2，2)代入z＝2x＋y得z的最大值为4.(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx－y＋2＝0与x轴的交点为A(－2k，0)．∵z＝y－x的最小值为－4，∴2k＝－4，解得k＝－12，故选D.题型三线性规划的实际应用例3某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解设A型、B型车辆分别为x、y辆，相应营运成本为z元，则z＝1600x＋2400y.由题意，得x，y满足约束条件x＋y≤21，y≤x＋7，36x＋60y≥900，x，y≥0，x，y∈N.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7,14)，R(15,6)．由图可知，当直线z＝1600x＋2400y经过可行域的点P时，直线z＝1600x＋2400y在y轴上的截距z2400最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．思维升华解线性规划应用问题的一般步骤：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．答案27解析设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为z＝5x＋3y.由题意得x≥0，y≥0，3x＋y≤13，2x＋3y≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x＝3，y＝4，z＝5×3＋3×4＝27(万元)．题型四求非线性目标函数的最值例4(1)设实数x，y满足x－y－2≤0，x＋2y－4≥0，2y－3≤0，则yx的最大值为________．(2)已知O是坐标原点，点A(1,0)，若点M(x，y)为平面区域x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则|OA→＋OM→|的最小值是________．答案(1)32(2)322解析(1)yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，在点(1，32)处取到最大值．(2)依题意得，OA→＋OM→＝(x＋1，y)，|OA→＋OM→|＝x＋12＋y2可视为点(x，y)与点(－1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(－1,0)向直线x＋y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(－1,0)的距离最小，因此|OA→＋OM→|的最小值是|－1＋0－2|2＝322.思维升华常见代数式的几何意义有(1)x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(2)x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；(3)yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；(4)y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．跟踪训练4(1)设不等式组x≥1，x－2y＋3≥0，y≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2是与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称的区域，对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B，|AB|的最小值等于()A.285B．4C.125D．2(2)设变量x，y满足5x＋2y－18≤0，2x－y≥0，x＋y－3≥0，若直线kx－y＋2＝0经过该可行域，则k的最大值为________．答案(1)B(2)1解析(1)由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域Ω1中的点到直线3x－4y－9＝0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离最小，故|AB|的最小值为2×|3×1－4×1－9|5＝4，选B.(2)画出可行域如图，k为直线y＝kx＋2的斜率，直线过定点(0,2)，并且直线过可行域，要使k最大，此直线需过B(2,4)点，所以k＝4－22－0＝1.利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值典例：(12分)变量x、y满足x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1，(1)设z＝yx，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．思维点拨点(x，y)在不等式组表示的平面区域内，yx＝y－0x－0表示点(x，y)和原点连线的斜率；x2＋y2表示点(x，y)和原点距离的平方；x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2表示点(x，y)和点(－3,2)的距离的平方．规范解答解(1)由约束条件x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1，作出(x，y)的可行域如图所示．由x＝1，3x＋5y－25＝0，解得A1，225.由x＝1，x－4y＋3＝0，解得C(1,1)．由x－4y＋3＝0，3x＋5y－25＝0，解得B(5,2)．[4分]∵z＝yx＝y－0x－0.∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝25.[6分](2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29.∴2≤z≤29.[9分](3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝－3－52＋2－22＝8.∴16≤z≤64.[12分]温馨提醒(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．(3)本题错误率较高．出错原因是，很多