圆的知识点(最新)

11第三章圆一．与圆相关的概念1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径.【圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，圆心和半径确定了，圆就确定了】2.①圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧，等于半圆的弧叫半圆.②等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.等弧也可以通过它所对的圆心角、圆周角、弦来进行判断，具体地说：a.在同圆或等圆中，所对的圆心角相等的两段弧是等弧。b.在同圆或等圆中，所对的圆周角相等的两段弧是等弧。c.在同圆或等圆中，所对的弦相等的两段弧是等弧。【温馨提示：半圆是弧，半圆形不是弧；弧的度数等于弧所对的圆心角的度数.】3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。圆中最长的弦是直径.【温馨提示：一条弦对着两条弧，对着两个圆心角（选择题），一般让求“弦所对的圆心角的度数”，指的是“弦所对的小于180°的那个圆心角”（填空题）；一条弧对着一条弦，对着一个圆心角】4.圆心角：顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角.【圆心角∠AOB的取值范围是0°＜∠AOB＜360°】5.圆周角：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.6.外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做圆的内接三角形.三角形外接圆的圆心（外心）到三角形三个顶点的距离相等.【温馨提示：三角形三边垂直平分线的交点叫三角形外接圆的圆心;三角形有且只有一个外接圆，但圆有无数个内接三角形】以下图为例O为外接圆的圆心，即外心.温馨提示：锐角三角形外接圆的圆心（外心）在它的内部；直角三角形外接圆的圆心（外心）在它斜边的中点上(R=2c)；钝角三角形外接圆的圆心（外心）在它的外部.7.内心：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为三角形的内心；这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形内切圆的圆心（内心）到三角形三边的距离相等.22【温馨提示：三角形三条角平分线的交点叫内切圆的圆心;三角形有且只有一个内切圆，但圆有无数个外切三角形】附注：①等边三角形的内切圆和外接圆设等边△ABC的边长为a，内切圆的半径为r，则有a63r，外接圆半径R=33a②直角三角形内切圆设Rt△ABC两直角边分别为a、b，斜边为c，内切圆半径为r，则有)cba(21r或cbaabr，其中四边形IDCB为正方形，边长ID=r.三角形的外接圆和内切圆比较名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心三角形三边中垂线的交点.1.OA=OB=OC(即圆心到三角形三个顶点的距离相等).2.外心不一定在三角形的内部.内心：三角形内切圆的圆心三角形三条内角平分线的交点.1.圆心到三边的距离相等.2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB.3.内心在三角形内部.33等边三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比为2:1（如图1）直角三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比为2cba:2c=)cba(:c（如图2）等腰三角形的内心和外心虽然不同，但都在底边的垂直平分线上.三角形外接圆半径的求法h2abR【即三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商】三角形内切圆半径r的求法∵r)cba(21ABCS△∴cba2rABCS△二．圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。过不在同一条直线上的三点作圆的做法：三．与圆相关的位置关系1.点与圆的位置关系44（1）点在圆内dr点C在圆内；（2）点在圆上dr点B在圆上；（3）点在圆外dr点A在圆外；2.直线与圆的位置关系（1）直线与圆相离dr无交点；（2）直线与圆相切dr有一个交点；（3）直线与圆相交dr有两个交点；三．与圆相关的性质和定理1.圆的对称性：圆是轴对称图形,对称轴是任意一条经过圆心的直线（或直径所在的直线）,它有无数条对称轴.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.圆的旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.★★★2.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。3.圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。4.圆周角定理（1）圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。（2）圆周角定理的推论：rdd=rdrFEDCBAODCBAO55推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径.推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（3）圆心角、弧、弦、弦心距关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（补充）平行弦定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等.5.圆内接四边形（1）性质定理：性质定理1：圆内接四边形的对角互补即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形∴180CBAD180BDDAEC性质定理2：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角（2）判定定理：（很重要）如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.附注：圆的内接平行四边形是矩形；圆的外切平行四边形是菱形.★★★6.切线的判定定理与性质（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可EDCBANMAO66即：∵MNOA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。7.切线长及切线长定理（1）切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.(2)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA、PB是的两条切线∴PAPBPO平分BPA（3）圆外切四边形两组对边的和相等.10.圆的内正多边形（1）正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.（2）正多边形与圆的有关定理把圆分成n(n≥3)等份：①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形；③任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆.注意：①依据正多边形与圆的有关定理①、②，只要能将一个圆分成n(n≥3)等份，就可以得到这个圆的内接正n边形及外切正n边形.77(3)正多边形的其它性质①正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.②边数相同的正多边形相似，正多边形的内切圆和外接圆是同心圆.(4)正多边形的有关计算正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.正n边形的有关计算公式每个内角nnn360-1802180）（；每个外角n360正n边形边长nRa180sin.2，内切圆半径nRr180cos.，正n边形周长a.nP正n边形面积n180cos.n180sin.nPr21a.r21.n2RS注意：①同一个圆的内接正n边形和外切正n边形是相似形，相似比是圆的内接正n边形边心距与它的半径之比n180cos.这样，同一个正n边形的内切圆和外接圆的相似比n180cos②常用辅助线：连半径，作边心距，由正多边形的半径、边心距和21边长构成的直角三角形集中反映了正多边形各元素间的关系，是解计算问题的基本图形，并且正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.附注：（1）正三角形在⊙O中△ABC是正三角形（如图1），有关计算在RtBOD中进行：::1:3:2ODBDOB（2）正四边形同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行（如图2），::1:1:2OEAEOA（3）正六边形同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行（如图3），::1:3:2ABOBOA11.扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式88（1）扇形：①弧长公式：180nRl；②扇形面积公式：213602nRSlRn：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积（2）圆柱：①圆柱侧面展开图：2SSS侧表底=222rhr②圆柱的体积：2Vrh（2）圆锥侧面展开图:①SSS侧表底=2Rrr②圆锥的体积：213Vrh99一．选择题1.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是()A.圆的外部(包括边界)；B.圆的内部(不包括边界)；C.圆；D.圆的内部(包括边界)2.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长()A.等于6cmB.等于12cm；C.小于6cmD.大于12cm3.⊙O的半径为5,圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2),则点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O内；B.点P的⊙O上；C.点P在⊙O外；D.点P在⊙O上或⊙O外4.下列命题：①直径所对的角是900；②直角所对的弦是直径；③相等的圆周角所对的弧相等；④对同一弦的两个圆周角相等.正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个5.下列语句中，正确的是（）①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内任一定点可以作无数条直径；⑤两个半圆是等弧；⑥优弧比劣弧长；⑦面积相等的圆是等圆；⑧菱形的四个顶点在同一个圆上；⑨能够互相重合的弧是等弧；⑩直径是圆中最大的弦，也就是过圆心的直线，其中正确的是（）A.①⑦B.③④⑦C.①②③D.①③⑤⑦6.下列语句中，不正确的是（）A．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形C．当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个7.如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对8.下列语句中，正确的是（）A.如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等B.如果两条弦相等，那么它们所对的弧相等C.如果两条弧相等，那么它们所对的圆周角相等D.如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等9.下列命题中错误的命题有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）垂直于弦的直径平分弦；（4）圆的对称轴是直径．A．1个B．2个C．3个D．4个10.下列说法正确的是（）A．顶点在圆上的角是圆周角B．两边都和圆相交的角是圆周角C．圆心角是圆周角的2倍D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半11．下列说法错误的是（）A．等弧所对圆周角相等B．同弧所对圆周角相等C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等．D．同圆中，等弦所对的圆周角相等12.下列命题不正确的是()A.三点确定一个圆B.三角形的外接圆有且只有一个C.经过一点有无数个圆D.经过两点有无数个圆13.三角形的外心是()A.三条中线的交点B.三条边的中垂线的交点C.三条高的交点D.三条角平分线的交点14.若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的外部，则△AB