第5讲(电气及其自动化专业)

信号流图0203掌握梅森公式求系统传递函数的方法学会微分方程，方框图，信号流图之间的转换01了解信号流图的定义和特点学习要点为什么要引入信号流图？意义1：系统方框图比较复杂，无法直接化简时，可以转化为信号流图，利用梅森公式求解。为什么要引入信号流图？意义2：信号流图可既直观又形象地表示线性方程组变量间的关系，不必求解方程。第1节信号流图的定义变量xi用节点“ₒ”表示)()(txatxjiji)()(sXAsXjiji传输函数Aij用一有向有权的线段(支路)表示箭头代表信号的流向，单向例1：如图是一个由电阻与电容构成的RC低通滤波电路，其中Ui为输入电压，UC为输出电压，画出低通滤波电路的信号流图。解题步骤：（1）根据电路理论，列出系统的微分方程dttiCtURtUtUtiCCi)(1)()()()(（2）在零初始条件下，对等式两边取拉普拉斯变换，得到因果关系式)(1)()()()(sIsCsURsUsUsICCi解题步骤：（3）用节点“○”表示变量I(s),Ui(s)和UC(s)，由因果关系用支路把节点与节点连接，得信号流图RsUsUsICi)()()(R1)(sUi)(sUC)(sI)(sUi)(sUC)(sIR1R1解题步骤：（3）用节点“○”表示变量I(s),Ui(s)和UC(s)，由因果关系用支路把节点与节点连接，得信号流图sCsIsUC)()(Cs1)(sI)(sUC)(sUC)(sIsC1解题步骤：（3）用节点“○”表示变量I(s),Ui(s)和UC(s)，由因果关系用支路把节点与节点连接，得信号流图)(sUi)(sUC)(sIR1R1)(sUC)(sIsC1R1)(sUi)(sUC)(sIR1sC1小结：系统信号流图绘制的一般步骤：（1）先写出系统的微分方程组；（2）零初始条件下，对微分方程组等式两边取拉普拉斯变换，得到因果关系式；（3）用节点“○”表示n个变量或信号，用支路表示变量与变量之间的关系。通常把输入变量放在图形左端，输出变量放在图形右端。例2：试绘出图中所示RC无源网络的信号流图。输入为u1(t)，输出为u2(t)。0u3i2u1u0u解题过程：（1）根据电路理论列写出系统的微分方程组dttiCtudttiCtutititiRtututiRtututi)(1)()(1)()()()()()()()()()(222310213220210113i2u1u0u解题过程：（2）在零初始条件下，两边同时进行拉普拉斯变换)(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011sIsCsUsIsCsUsIsIsIRsUsUsIRsUsUsIdttiCtudttiCtutititiRtututiRtututi)(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011解题过程：（3）绘出各部分的信号流图)(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011sIsCsUsIsCsUsIsIsIRsUsUsIRsUsUsI)(1sU)(sUo)(1sI11R11R)(sUo)(2sU)(2sI21R21R)(1sI)(2sI)(3sI11)(3sI)(sUosC11)(2sI)(2sUsC21解题过程：（4）整合，得到系统流程图)(1sU)(1sI11R)(2sU)(2sI21R21R)(3sI1)(0sU111RsC11sC21)(1sU)(sUo)(1sI11R11R)(sUo)(2sU)(2sI21R21R)(1sI)(2sI)(3sI11)(3sI)(sUosC11)(2sI)(2sUsC21思考题：如何从系统方框图绘出信号流图？口诀：输入输出为两个节点；每个比较点，支路为一个节点；小结：系统信号流图绘制的一般步骤：（1）先写出系统的微分方程组；（2）零初始条件下，对微分方程组等式两边取拉普拉斯变换，得到因果关系式；（3）用节点“○”表示n个变量或信号，用支路表示变量与变量之间的关系。通常把输入变量放在图形左端，输出变量放在图形右端。第2节信号流图的基本术语与特点节点：表示变量或信号的点，用“○”表示。支路：连接两个节点之间的有向有权线段，方向用箭头表示，权值用传输函数表示。输入支路：指向节点的支路。输出支路：离开节点的支路。源节点：只有输出支路的节点，也称输入节点，如图中节点X1。汇节点：只有输入支路的节点，如图节点X7。第2节信号流图的基本术语与特点混合节点：既有输入支路、又有输出支路的节点，如图中的X2、X3、X4、X5、X6。通道(路径)：沿着支路箭头方向通过各个相连支路的路径，并且每个节点仅通过一次。如X1到X2到X3到X4或X2到X3又反馈回X2。第2节信号流图的基本术语与特点前向通道：从输入节点(源节点)到汇节点的通道。如图X1到X2到X3到X4到X5到X6到X7为一条前向通道，又如X1到X2到X3到X5到X6到X7也为另一条前向通道。闭通道(反馈通道或回环)：通道的起点就是通道的终点，如图X2到X3又反馈到X2；X4到X5又反馈到X4。自回环：单一支路的闭通道，如图中的-H3构成自回环。第2节信号流图的基本术语与特点通道传输或通道增益：沿着通道的各支路传输的乘积。如从X1到X7前向通道的增益G1G2G3G4G5G6。第2节信号流图的基本术语与特点不接触回环：如果一些回环没有任何公共的节点，称它们为不接触回环。如－G2H1与－G4H2。第3节信号流图的简化（1）加法规则：n个同方向并联支路的总传输，等于各个支路传输之和，如图所示。第3节信号流图的简化（2）乘法规则：n个同方向串联支路的总传输，等于各个支路传输之积，如图。第3节信号流图的简化混合节点可以通过移动支路的方法消去第3节信号流图的简化回环可根据反馈连接的规则化为等效支路例3：将下图所示系统方框图化为信号流图并化简求出系统的闭环传递函数)()()(sRsCs解题过程：信号流图如图所示。1解题过程：化G1与G2串联等效为G1G2支路，G3与G4并联等效为G3+G4支路，得图（b）。解题过程：G1G2与-H1反馈简化为支路，又与G3+G4串联，等效为，如图(c)。121211HGGGG12121431)(HGGGGGG解题过程：进而求得闭环传递函数为)())()()(()(1))()()((1)(11)()()()(243211214321121221431212143sHsGsGsGGsHGGsGsGsGGHGGHGGGGHGGGGGGsRsCs给定系统信号流图之后，常常希望确定信号流图中输入变量与输出变量之间的关系，即两个节点之间的总增益或总传输。上节采用信号流图简化规则，逐渐简化，最后得到总增益或总传输。但是，这样很费时又麻烦，而梅森(Mason)公式可以对复杂的信号流图直接求出系统输出与输入之间的总增益，或传递函数，使用起来更为方便。第4节梅森公式梅逊增益公式可表示为式中，T—输出和输入之间的增益或传递函数；Pk—第k条前向通道的增益或传输函数；Δ—信号流图的特征式，∑Lj1所有不同回环增益之和；∑Lj2所有两两互不接触回环增益乘积之和；∑Lj3所有三个互不接触回环增益乘积之和┆Δk－与第k条前向通道不接触的那部分信号流图的特征多项式，称为第k条前向通道特征式的余子式。3211jjjLLLkkPT例4：利用梅森公式求图中所示系统的传递函数C(s)/R(s)。(1)确定前向通道解题思路：P1=G1G2G3G4G5Δ1=1(1)确定前向通道解题思路：P1=G1G2G3G4G5Δ1=1P2=G1G6G4G5Δ2=1(1)确定前向通道解题思路：P1=G1G2G3G4G5Δ1=1P2=G1G6G4G5Δ2=1P3=G1G2G7G5Δ3=1(1)确定前向通道解题思路：P1=G1G2G3G4G5Δ1=1P2=G1G6G4G5Δ2=1P3=G1G2G7G5Δ3=1P4=-G1G6H2G7G5Δ4=1(2)确定单回环解题思路：1L1=-G3H22L2=-G5H13L=-G2G3G4G5H3L4=-G6G4G5H34L5=-G2G7G5H35L6=G5H3G6H2G76(3)确定两两互不接触回环解题思路：L1与L2是互不接触的，其增益之积L1L2=G3G5H1H2(3)确定两两互不接触回环解题思路：L1与L2是互不接触的，其增益之积L1L2=G3G5H1H2(3)确定两两互不接触回环解题思路：L1与L2是互不接触的，其增益之积L1L2=G3G5H1H2(3)确定两两互不接触回环解题思路：L1与L2是互不接触的，其增益之积L1L2=G3G5H1H2(3)确定两两互不接触回环解题思路：L1与L2是互不接触的，其增益之积L1L2=G3G5H1H2(4)确定系统特征多项式Δ解题思路：21654321)(1LLLLLLLL(5)根据梅森公式求传递函数解题思路：41)()(iiiPsRsC21614411)(1LLLLLPLP例5：利用梅森公式求图中所示系统的传递函数C(s)/R(s)。(1)确定前向通道解题思路：1,111GP1,222GP1,3213GGP1,4214GGP(2)确定单回环解题思路：11GL22GL213GGL214GGL215GGL(3)确定两两互不接触单回环解题思路：(3)确定两两互不接触单回环解题思路：(3)确定两两互不接触单回环解题思路：(3)确定两两互不接触单回环解题思路：不存在两两互不接触单回环(4)确定系统的特征多项式解题思路：212151311GGGGLii(5)利用梅森公式求闭环传递函数41)()(iiiPsRsC21212121312GGGGGGGG练习：例题3：用梅逊公式求下图中各系统信号流图的传递函数)()()(sRsCs