几何模型：一线三等角模型

一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。二.一线三等角的分类全等篇DCABPDCBAPCABPD同侧锐角直角钝角CDPBAADPCBDPBCA异侧相似篇DCABPDCBAPCABPD同侧锐角直角钝角DCPBACDPBADPCAB异侧三、“一线三等角”的性质1.一般情况下，如图3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图3-1，若CE=ED，则△AEC≌△BDE.3.中点型“一线三等角”如图3-2，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.4.“中点型一线三等角“的变式(了解)如图3-3，当∠1=∠2且1902BOCBAC时，点O是△ABC的内心.可以考虑构造“一线三等角”.如图3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，1902BOCBAC这是内心的性质，反之未必是内心.在图3-4（右图）中，如果延长BE与CF，交于点P，则点D是△PEF的旁心.5.“一线三等角”的各种变式（图3-5，以等腰三角形为例进行说明）图3-5其实这个第4图，延长DC反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在x轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过C、D两点作直线l的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容易掌握.解题示范例1如图所示，一次函数4yx与坐标轴分别交于A、B两点，点P是线段AB上一个动点（不包括A、B两端点），C是线段OB上一点，∠OPC=45°，若△OPC是等腰三角形,求点P的坐标.例2如图所示，四边形ABCD中，∠C=90°,∠ABD=∠DBC=22.5°，AE⊥BC于E，∠ADE=67.5°，AB=6,则CE=.例3如图，四边形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5.求BC的长.例4如图，△ABC中,∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3,求AD的长.一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙.找出相似形，比例不能少.巧设未知数，妙解方程好还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造例5如图，在△ABC中，∠BAC=135°，AC=2AB,AD⊥AC交BC于点D，若AD=2，求△ABC的面积当然有45°或135°等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种.大练身手：例7：在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，3），C（－3，0），D是线段AB上一点，CD交y轴于E，且S△BCE＝2S△AOB．（1）求直线AB的解析式；（2）求点D的坐标，猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）若F为射线CD上一点，且∠DBF＝45°，求点F的坐标．例8：如图，直线y＝x＋2与y轴交于点C，与抛物线y＝ax2交于A、B两点（A在B的左侧），BC＝2AC，点P是抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在直线AB的下方，求点P到直线AB的距离的最大值；（3）若点P在直线AB的上方，且∠BPC＝45°，求所有满足条件的点P的坐标．yEDCAOBxBxyCAO练1：.如图，抛物线的顶点为C（－1，－1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为－3．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为抛物线上的一点，且△BOD的面积等于△BOC的面积，请直接写出点D的坐标；（3）若点E的坐标为（0，2），点P是线段BC上的一个动点，是否存在点P，使得∠OPE＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．BACOxyE课后作业：如图，点A(0,-1),B(3,0),P为直线y=-x+5上一点，若∠APB=45°，求点P的坐标在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3,AD=4,求AC的长.如图，正方形ABCD中，点E,F,G分别在AB,BC,CD上，△EFG为等边三角形，求证：BE+GC=3BC如图，△ABC△DBA,且AC=2BC,求证:CD=2AB.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝55，求BD的长如图，点A是反比例（X＞0）图形上一点，点B是X轴正半轴上一点，点C的坐标为（0，2），点△ABC是等边三角形时，求点A的坐标.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l：y＝－12x＋m经过点A，与抛物线交于另一点D（5，－72），点P是直线l上方的抛物线上的动点，连接PC、PD．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCD为直角三角形时，求点P的坐标；（3）设△PCD的面积为S，请你探究：使S的值为整数的点P共有几个，说明理由．yxOABCDl1.如图1,已知直线y=kx与抛物线交于点A（3，6）.（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M（点M、O不重合）,交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是,求出这个定值,如果不是,说明理由；（3）如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上（与点O、A不重合）,点D（m，0）是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究：m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个？OxyABED图2图1AxyPQMNO3222742xy如图，直线AC：y＝－2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）过A、C两点，与x轴交于另一点B（B在A的右侧），且△OBC∽△OCA．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上一点，∠DCA＝45°，求点D的坐标；BAOCxy备用图BAOCxy