非正弦周期电流电路的分析

第七章非正弦周期电流电路的分析基本要求：1．能将非正弦周期函数展开为付立叶级数，并作出其频谱图；2．能分析计算非正弦周期电路中的电压，电流；3．能计算非正弦周期电压，电流的有效值及计算非正弦周期电路中的平均功率；§7-1周期函数的付立叶级数展开式讲述要点：1.付立叶系数的计算；2．周期函数的几种对称性一、付立叶级数周期函数:设T为周期函数f(t)的周期，即f(t)=f(t+kT)，k=0，1，2，3…如果f(t)满足狄里赫利条件，即（1）在一个周期内，如极大值和极小值的数目为有限个；（2）在一个周期内，如只有有限个不连续点;（3）在一个周期内，f(t)绝对值的积分为有限值，即tdtfT0)(则f(t)可展开为一无穷级数。1、付立叶级数的第一形式tnisbtnisbtcosatcosaa)t(f121112110222)tnnisbtncosa(annn11102n为正整数；20a，na，nb称为付立叶系数2、付立叶系数20a，na，nb的计算式：求20a：对和式两端在一个周期内积分ToTToTotdtcosatdtcosadtadt)t(f12011022ToTotdtbtdtb12112sinsin20aTtd)t(fTa001220a是f(t)在T内的平均值，称为直流分量求an：用cosn1t乘和式两端7-1-2奇函数的波形示例图7-1-3偶函数的波形示例tntbtntbtnatntatntatnatntfnn1111112112111101cossincossincoscos2coscoscoscos2cos)(两端在一周期内积分得：TTTnbnTatdtnatdtnatdtntf00011212)2cos1(21coscos)(Tntd)tncos()t(fTa012积分出来之后，令n=1.2.3.…便可求得a1.a2……求bn:同理用sinn1t乘和式两端，并就两端在一周期内积分，可得：Tntd)tnsin()t(fTb0123、付立叶展开式的第二种形式将和式中的同频率的正弦项和余弦出合并为一个同频率的正弦波（可用相量法）1102nnmn)tn(sinAA)t(f此式中22nnnmbaA；nnnbagt1；2200aA二、周期函数的几种对称性1、奇函数：f(t)=-f(-t)特点：（1）图形对称于原点；（2）上下平移会破坏对称性，所以平均值必为零；（3）左右平移可破坏对称性。结论：不含cos项；na=0；20a=0；仅含sin项；nb≠02、偶函数：f(t)=f(-t)特点：（1）图形对于纵轴对称（2）上下平移仍为偶函数，可有非零平均值(3)左右平移可破坏纵轴对称性结论：不含sin项；nb=0；na≠0；20a可不为零.3、奇谐波函数：f(t)=-f(t+2T)(a)(b)图714奇谐波函数的波形示例波形对称性：后半周反号重复前半周，或后半周左移半周与前半周成镜像。称为奇半波对称性。f(t)称为奇谐波函数。特点：（1）左右平移不影响对称性；上下平移一定破坏对称性。（2）只含有奇谐波函数；不含偶次谐波和直流分量结论：20a=0，an和bn中n只取奇数。本节小结：1、奇，偶函数的对称性可能因原点的移动而遭破坏，奇谐波函数的对称性不受原点移动的影响。2、适当选择时间起点，可使有些函数具有一种以上的对称性。3、对波形的对称性的判断可直观地判断哪些谐波存在，哪些谐波不存在。减少付立叶级数展开的工作量。§7-2线性电路对周期性激励的稳态响应讲述要点：1.直流分量作用时的等效电路；2.正弦谐波激励作用时的相量电路，不同谐波的阻抗与导纳；3.叠加。·在电工程中常见的周期性激励信号一般都满足狄里赫利条件，都可展开为付氏级数。·由于付氏级数的收敛性，根据工程计算所允许的误差范围，一般只取前若干项来计算。（对周期电压信号可认为是若干谐波电压源相串联，对周期电流信号可认为是若干谐波电流源相并联）·直流分量作用时按直流电路计算；各正弦谐波激励作用时可分别利用相量法计算电路的响应相量；返回时域再迭加，就得到电路对周期信号激励的稳态响应。但不能相量相加。例722在图723所示电路中，已知ω=314rad/s,R1=R2=10,L1=0.106H，L2=0.0133H，C1=95.6μF，C2=159F，V)3sin210sin22010()(tttus，求i1(t)及i2(t)。解：•直流分量电压单独作用时，电容相当于开路，电感相当于短路0A1A1010201010IRUIs•基波分量电压单独作用时，L1与C1并联的等效导纳为图7230S)103103(12211jLjCj相当于开路，因此A1e=A2010102201j4502211s2111jeCjRRUIIjmmm基波分量电压单独作用时响应的时域解为A)45sin(1)()(2111ttiti•三次谐波分量电压单独作用时，L1与C1并联的等效阻抗为5.1231j3111jLjC而电感L2在三次谐波频率下的阻抗为j3L2=j12.5，所以对三次谐波而言，L1与C1并联后再与L2串联，发生串联谐振，相当于短路。故A0;A2A10210230013s13mjjmmIeeRUI三次谐波分量电压单独作用时响应的时域解为A0)(A3sin2)(2313titti•将响应的直流分量和各次谐波分量单独作用时的正弦稳态响应叠加起来，即为电路的稳态解A)45sin(1)()()(A]sin2)45sin(1[)()()(23212021311101ttitiItitttitiIti§7-3非正弦周期波的有效值·平均功率讲述要点：1.非正弦周期波的有效值的计算2.非正弦周期电路平均功率的计算一、有效值•任意周期电流电压均为TtdiTI021（1）如i(t)可展为付氏级数110nnm)tn(nisII)t(i(2)将(2)代入（1），即将f(t)代入方均根值中，计算多项式的平方的平均值，由于三角函数的正交性，可知各交叉项乘积的2倍在一周期内的积分值应为零，平均值也为零。只有各平方项的平均值不为零T)I(td)I(T020201td)tn(nisITnTmn10221td)tncos(ITTmn10221211221021222mnmnmnITITTtIT12202nmnIII1220nIII由此可见，非正弦周期电流的有效值等于它的直流分量及各谐波分量有效值的平方之和的平方根。注意：对于单一正弦波，有nmnII2，但对整个周期波则不存在这种关系当f(t)为电压时，则1220nnUUU例：已知周期电流i=1+0.707sin(ωt-200)+0.42sin(2ωt+500)A，试求其有效值解：AI16..13.05.01)42.0(21)707.0(21122222※二、平均值与均绝值1．平均值：周期量在一周期内的平均值就是直流分量如前Ttd)t(fTa00122．均绝值：电工技术中经常遇到上下半周期对称的波，如正、余弦波，奇谐波等，这些波在横轴上下的面积相等，其平均值为零。·在电工实践中，还用到均绝值的概念，其数学式为TTavtdtfTtdtfTF00)(2)(1取绝对值是将负值部分反号，即“全波整流”。所以，所谓均绝值，就是“全波整流”后的平均值。例如，计算正弦电压的平均值，并求正弦电压的有效值与平均值之比解：设U(t)=Umsinωt·平均值为mTmTmavUtTUtdtnisUTU2cos)1(220220=0.64Um·有效值为U=2mU=0.71Um·有效值与平均值之比11.12222mmvaUUUU或VaU=0.9U三、平均功率1、设二端网络的周期电压、电流为)tn(nisVV)t(Unnmn110)tn(nisII)t(innmn110当其参考方向一致时，则其吸收的瞬时功率为p(t)=U(t)i(t)平均功率为TTtd)t(i)t(UT)t(pTP0011td)tn(nisII)tn(nisVVTnnmnTnnmn11001101计算多项式的乘积,可有几种类型的项；（1）直流电压与直流电流的乘积；（2）直流电压与电流多次谐波的乘积；（3）直流电压与电压多次谐波的乘积；（4）各同次谐波电压电流的乘积；（5）不同次谐波电压与与电流的乘积。将以上各类积分：（2）（3）（5）类的值为零。将（1）（4）两类求平均值为td)tn(nisI)tn(nisVTIVPTnnmnnmn0111001积化和差td)(costncosIVTIVTnnnnnmnmn0110021110021nnnmnmn)(cosIVIVn=1,2,3…100nnnnn)(cosIVIV10nnPP2、当二端网络为电阻性时（包括谐振状态）其平均功率可直接用下式计算P=I2R=U2/RR为输入电阻注意：PRIm221，因为mII2例：已知某二端网络的电压电流分别为U(t)=10+141.4cosω1t+70.7cos(3ω1t+300)Vi(t)=2+218.55cos(ω1t-21.80+212cos(2ω1t+50)+26.4sin(3ω1t+69.810)A当u(t)与i(t)取关联参考方向时，求二端网络吸收的平均功率。解：P=2×10+18.55×100cos21.80+6.4×50cos[300-(69.810-900)]=20+1772+204.88=1947W*§74傅里叶级数的指数形式讲述要点：一般性介绍根据欧拉公式，有2)cos(111tjntjneetnjeetntjntjn2)sin(111因此，函数f(t)的傅里叶级数展开式可改写如下：])sin()cos([2)(1110nnntnbtnaatf102)(2)(21111ntjntjnntjntjnnjeebeeaa10112)(2)(2ntjnnntjnnnejbaejbaa(741)令njnnnneCjbaC2复数Cn的模与辐角分别为nnnnAbac212122nnnabarctan将以上二式与式(815)及式(816)的注①相比较，可以看出，若将函数f(t)的傅里叶级数展开式表示为110)cos(2)(nnntnAAtf并用相量表示余弦函数(这种相量的辐角等于余弦函数的初相角ψn)，则复数Cn等于代表n次谐波Ancos(n1t+ψn)的幅值相量njneA的二分之一，即njnneAC21。由式(713)、(714)所示傅里叶系数公式可知，系数an是谐波次数n的偶函数，bn是谐波次数n的奇函数，即a-n=anb-n=-bn因而njnnnnnneCjbajbaC22再令200ac则式(741)可写为247)()(11110ntjnnntjnntjnnecececctf这就是傅里叶级数的指数形式。式(711)及式(716)则可称为傅里叶级数的三角形式。式(742)中，复系数Cn，可根据傅里叶系数an、bn的计算公式导出，即dttntfjdttntfTjbaCTTTTnnn