量子力学导论第5章答案

1第五章力学量随时间的变化与对称性5.1）设力学量A不显含t，H为本体系的Hamilton量，证明HHAAdtd,,222证.若力学量A不显含t，则有HAidtdA,1,令CHA,则HCHCidtCdidtAd,1,11222,HHAAdtd,,2225.2）设力学量A不显含t，证明束缚定态，0dtdA证：束缚定态为:：tiEnnnertr,。在束缚定态trn,，有trEtrtitrHnnnn,,,。其复共轭为trEertitrHnntiEnnn,,****。nndtdAdtdA,nnnnnnAAAdtd,,,nnnnHiAAHidtdA1,,1nnnnAHiHAiHAitA,1,1,1nnHAAHiHAi,1,10,,1AHHAi。5.3）xxiaPxaaDexpexp表示沿x方向平移距离a算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数）xexkikx,xaxkk是aDx的本征态，相应的本征值为ikae证：axeaxxaDkaxikxxexeeikakikxika,证毕。25.4）设m表示zL的本征态（本征值为m），证明meeyzikLikL是角动量L沿空间,方向的分量nLcossinsincossinzyxLcLLnLLn的本征态。证：算符yikLe相当于将体系绕y轴转角，算符zikLe相当于将体系绕z轴转角，m原为zL的本征态，本征值为m，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的'z轴（开始时和实验室z轴重合）已转到实验室坐标系的,方向，即n方向，mYlm变成了，即变成了nL的本征态。本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为m。（还有解法二，参钱..《剖析》.P327）5.5）设Hamilton量rVuPH22。证明下列求和规则uxEEnnmmn222。x是r的一个分量，n是对一切定态求和，nE是相应于n态的能量本征值，nEnHn。证：xxxpuipiupxuHx221,21,2（）AnnmmnxEE2mEEnnxmmnnmxHnmHxnnxmnmHxnnxmn,)(2,21mPxnnxmuxnmPnnxmuixnnxnxPmui又AnmnmxnnEEmmxnnHxmn,)(nxnxPmuiA2nxxmxPxPmuinxmPxmui,uiui2，AuxEEnnmmn222。不难得出，对于ZY,分量，亦有同样的结论，证毕。5.6）设prF,为厄米算符，证明能量表象中求和规则为3kFHFkFEEnnkkn,,212（1）证：式（1）左端令AkFnnFkEEnknkFHHFnnFknkFHFk,,（2）计算中用到了公式1nnn。由于FH,是厄米算符，有下列算符关系：FHHFFHFHHFFHHFFH,,（3）式（2）取共轭，得到AAkFHFk,,kFFHk,)3(,kFFHk（4）结合式（2）和（4），得AkFHFkFEEnnkkn,,212证毕。5.7）证明schrödinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系'K的速度相对于惯性参照系K运动（沿x轴方向），空间任何一点两个参照系中的坐标满足下列关系：'''',,,ttzzyyvtxx。（1）势能在两个参照系中的表示式有下列关系txVttxVtxV,,,'''''（2）证明schrödinger方程在'K参照系中表为''222''2Vxmti在K参照系中表为Vxmti2222其中ttxtmxmi,2exp'2证：由波函数的统计解释，和'的意义完全相同。txwtx,,2，是t时刻在x点找到粒子的几率密度；'''2''',,txwtx，是't时刻在'x点找到粒子的几率密度。但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即4''',,txwtxw（6）从（1）式有txwttxw,,'（6’）由此可以得出，和'两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以ttxetxetxtxiSiS,,,','''（7）txettxtxiS,,,'（7）由（1）式，xx',txvt',222'2xx（3）式变为：'''''''''222,,,2txtxVtxxm'''''',,txtitxxi（8）将（7’）代入（8）式，可得tSxSxSmtSmitxVxxSmixm2222222222,2ti（9）选择适当的txS,，使得（9）（4），0xSm。（10）02222222tSxSxSmxSmi（10’）从（10）可得tfxmS。（11）tf是的任意函数，将（11）代入（10’），可得22mtf积分，得Ctmtf22。C为积分常数，但0时，'K系和K系重合，'应等于，即S应等于0，故应取0C，从而得到tmxmS22（12）代入（7’）式，最后得到波函数的变换规律：5tmxmi2'211exp（13）逆变换为'2'''21exptmxmieiS（13’）相当于式（13）中的，带”，“的量和不带”，“的量互换。讨论：txS,的函数形式也可用下法求出：因txS,和势能V无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在K和'K系中的表现形式，即可确定txS,.沿x方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为mPP'2222''212122mPEmPmPmPE（14）据此，K系和'K系中相应的平面波波函数为EtPxie，'''''tExPie（15）（1）、（14）代入（15），即得tmxmi2'211exp此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于K和'K系的相对速度，而与粒子的动量P无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。6