量子力学讲义第7章

54第七章定态问题的近似解（本部分内容尽可能采用精讲多练的方法教学，减少课堂推导，增加例题训练）7.1非简并态微扰论微扰论的基本精神--对小量逐级展开一、非简并微扰论适用的条件①nnnEHtH,0；②HHHH,0要远小于00,HH为分立谱；③)0()0()0()0()0(0,,nnnnnEEH已知或易求；①所研究的那个能级无简并。二、零级近似方程和各级修正方程为表征微扰程度，引入参数HH:1，按λ的幂次展开。方程：nnnEHH)(0设......)2(2)1()0(nnnnEEEE......)2(2)1()0(nnnn代入方程：...)...)((...))(()2(2)1()0()2(2)1()0()2(2)1()0(0nnnnnnnnnEEEHH比较各级得：)0()0()0(00:nnnEH)0()1()1()0(01)()(:nnnnEHEH)0()2()1()1()2()0(02)()(:nnnnnnEEHEH……最后令λ=1，求得各级)()(,mnmnE。三、nnE,的各级近似1、一级近似55用}{)0(n展开lllnna)0()1()1()1(:。代入一级近似方程：)0()1()0()1()0(0)()(nnlllnEHaEH用)*0(k左乘上式，利用kllkd)0()*0(得,)1()1()0()1()0(knnknknkkEHaEaE其中HdHHnkkn~)0()*0(在0H表象的矩阵元。令k=n，上式给出nnnnnnnnnHEEEEHE)0()1()0()1(,令k≠n，则有)0()0()1(knknkEEHalllna)0()1()1(。问题：?)1(na可以证明0)1(na（自学教材）nkkknknnnnnEEH)0()0()0()0()1()0(2、二级近似仿照一级近似的讨论，请同学们自己完成有关推导。结果有)2()1()0()0()0(2ln)2(,nnnnnllnnEEEEEEHE有关波函数的二级近似见教材P245。实用中，通常计算到能量的二级近似，波函数的一级近似，这就要求微扰级数收敛得快，即要求HEEHknkn,1)0()0(远小于0H的含义。显然，如果)0(nE邻近有一条或多条能级（近简并），则以上微扰不适用；对连续谱，此方法也不能用，将采用其他近似方法。一、应用举例请自学教材所列四个例子，我们另讲两个例子。例1、教材习题7.1、8。解：（1）引入新的产生算符和湮灭算符aaaaaa,:,。56易知1],[aa)()2())((2aaaaaaHH)()()(222nEnnnaanHn.(2)0)()1(nHnEaaHn。}1{}{1,1,mnmnmmmanmanmHn，)(,2)0(2)0(1)0(21,)0(1)0(21,)2(nEnEEEHEEHEnnnnnnnnnnn，同（1）。例2、教材习题7.1、9。解：（1）按微扰论公式，微扰后的基态)0(0)0()0(00)0(00nnnnEEH，其中)0(0)0()0()0(0)0(000)0()0(0)0(0)(AEEiAHHAiHHnnnnn。)()(00)0(00)0(0)0(0)0(0)0(0)0(0)0()0()0(0)0(0)0(0)0()0(00AAAAiAiAiAinnnnnn在上面的计算中，我们利用了波函数的完备性。（2）利用（1）的结果，有)()()(2)0(00)0(0)0(00)0(0)0(0)0(000OBAAiAABiBB略去高阶小量，即得00)0(0)0(0000)(CBBAABiBB。7.2非线性谐振子（也可作为应用例子）线性：)21(,212)0(222220nExdxdHn。一、非线性项3xH)0()()(nxUxU有确定的宇称2)0(n为偶函数。57032)0()1(dxxHEnnnn。考虑laanxHEEHEnlnlnllnnln3233)0()0(2)2()()2(,。而aaaaaaaaaaaaaaaaaa2222333)(。我们有3,3)3)(2)(1(lnllllan3,3)1)(2(lnllllan1,21lnlllaan1,2)1(lnlllaan1,21)2(lnlllaan1,2)1(lnlllaan1,1)1(lnlllaaan1,lnlllaaan}.3)1(3)2)(1()3)(2)(1({)2(1,231,233,3,23lnlnlnlnnlllllllllH).3011()(415})1(993)1)(2)(3(3)1)(2({)2(2323332)2(nnnnnnnnnnEn一、非线性项4xH（略）（可以作为练习来训练）作业：习题7.1、1，6，7，10。587.3简并态微扰论一、简并带来的问题零级能量给定，对应的零级波函数不唯一（详见教材分析）。原因：与对称性有关，加上微扰→对称性破坏→简并全部或部分消除。二、求零级近似波函数与能级的一级近似设kkkkkddEH~,......,2,1,)0()0()0(0重简并，且mkkmd)0()*0(正交归一。我们的任务是求解EHHH)(0。1、各级近似方程将展开式,)0(kkkC代入方程,,)0()0(,)0()0(kkkkkkkkkkCEHCEC。仿7.1的讨论，有,,)0(kmkmkmmECHCEC，其中dHHkmkm)0()*0(,。按λ的幂次展开：.........,)1()0()1()0(kkkCCCEEE可得0)(:)0()0(00mmCEE0)(:,,)0()0()1()1()0(01kkmkmmmHCCECEE……2、求能级的一级修正若讨论nE能级：0)(,,)0()0()0()1()1()0()0(mmnnnCEEEEEE。若m≠n，则0)0(mC；若m=n，则)0(mC待定。记knkmnmaCaC)0()0(0)(:,)1()1()0(01nmmnnmmnHaaECEE。59取m=n，得0,)1(nnnHaaE记HHnn,，则有ndnndaEH1)1(,......,2,1,0)(这是a的齐次方程，非平庸解条件为0det)1(nEH久期方程。由此求得)1(nE的nd个根：nnnndEEE,......,2,1,)1()0(。①若)1(nE无重根→简并完全消除，能级分裂成nd条，且波函数完全确定。②若)1(nE有重根→简并未完全消除，相应的波函数仍然不确定。1、求零级近似波函数)0()0()0()1(}{nnmnmnaaCaE。4、简并微扰论的实质以}{)0(n为基，构成属于)0(nE的nd维子空间。在这个子空间中：0)0()0()0(0HEHnnn是对角的。可以证明，H也是对角的HHEnnn)0()0()1(（证明见教材）。由此可见，nE的一级近似就是H的对角元。这表明，简并态微扰论的实质就是适当选择简并子空间的基，使H对角化。三、近简并情况若0H的一些能级并不简并，但彼此很靠近，破坏了1)0()0(knknEEH的条件，在这种情况下，可以在这些能级所有的状态张开的子空间中将H对角化，从而得到能级和波函数。例：教材P263例5，二能级体系。已知??.,*21)0(2)0(112)0(22112)0(1EHHHEHHEH解：设)0(22)0(11CC60则EH可表示成021)0(2*1212)0(1CCEEHHEE。解久期方程得2212)0(1)0(212)0(1)0(22122)0(1)0(2)0(1)0(2121)(21]4)([(21ctgEHEEHEEHEEEEEC式中)(21)0(1)0(2EEEC两能级的重心)(,2)0(1)0(212)0(1)0(2EEHEEctg表征耦合强度（12H的重要性）。设ieHH1212可解得)0(2)0(12cos2sin:ieE，)0(2)0(12sin2cos:ieE。7.4氢原子的二级斯塔克效应（应用实例）斯塔克效应：原子置于外电场中，它的光谱会发生分裂。我们用简并微扰论来解释这一效应。考虑第一激发态：4,22ndnn。一、H算符cos,2,2200rereHreHHHHs我们采用狄拉克符号。0H的本征值为)0(2E，本征态为4,3,2,1112,112,012,002~2ml。二、能级的一级修正利用附录公式（教材P430）61)~(cos,)12)(12()32)(12()1(cos10,122,122YYllmlYllmlYmlmllm以及lmY的正交性，可知H具有如下选择定则：1,0lm，即不满足此条件H的矩阵元为零。计算（见教材）得非零的矩阵元0321aeH。于是，久期方程为0,0,300000000030030)1()1()1()1(00)1(aeEEEEaeaeE。三、零级近似波函数对)012002(21310)1(aeE，对)012002(21320)1(aeE，对二重根0)1(E，零级波函数不唯一，可取原来的零级波函数112,11243。分裂成三条谱线。作业：习题7.3、1，*2627.5变分法一、变分法的基本思想设HEEEEHnnnnn~}{......,......,10的正交归一完备的本征函数集。定理：体系在任意态中能量的平均值)(EH，必大于或等于体系基态能量0E。证：展开nnnC:对归一化的，有12nnC。已知dCHCdHEEEnmnnmmn***00202,*ECEECECCnnnnnmnnmnnm，0EE变分法的基本思想：取一系列波函数计算E