线性系统理论(能控性判据)

内容简介格拉姆矩阵判据秩判据PBH判据（PBH秩判据、特征向量判据）约当规范形判据第一部分第二部分第三部分第四部分4.2连续时间线性时不变系统的能控性判据4.2连续时间线性时不变系统的能控性判据格拉姆矩阵判据考虑连续时间线性时不变系统，状态方程为0)0(0txxBuAxx（4.7）其中，x为n维状态，y为q维输出，A(t)和B(t)为n×n和n×p常值矩阵结论4.1连续时间线性时不变系统（4.7）为完全能控的充分必要条件是，存在时刻t10，使格拉姆矩阵101],0[ttATAtcdteBBetWT为非奇异。4.2连续时间线性时不变系统的能控性判据证充分性已知为非奇异，欲证系统完全能控。设x0为状态空间中任意非零状态。],[10ttWc说明系统是能控的构造控制输入],0[,],0[)(1011ttxtWeBtuctATT0],0[],0[],0[}{)()(00011100110)(1111110111011xexextWtWexextWdteBBeexedttBuexetxAtAtccAtAtctttATAtAtAtttttAAtT4.2连续时间线性时不变系统的能控性判据必要性已知系统完全能控，欲证为非奇异。],[10ttWc其中，表示所示向量的范数，而范数必为非负，于是，只能有采用反证法。反设为奇异，即反设状态空间中至少存在一个非零状态，使成立：0x0],0[010xtWxcT基此，可进而导出：dtxeBBexxtWxtATAtTtcTT0000101],0[0dtxeBxeBtATTtATtTT][][0001dtxeBtATtT2001],0[,010ttxeBtATT],[10ttWc4.2连续时间线性时不变系统的能控性判据另一方面，由系统完全能控知，状态空间中所有非零状态均可找到相应的输入u(t)使成立：从而可进一步得即基此，可进而导出：111001)()(0tAtAtAtdttBueexetx100)(tAtdttBuex1100000020)()(ttATTTtAtTdtxeBtuxdttBuexxxT020x00x与题设相矛盾，从而证得非奇异，必要性得证。证明完成。],[10ttWc4.2连续时间线性时不变系统的能控性判据运用格拉姆矩阵判据的类同推证过程可以证明，对连续时间线性时不变系统系统，“Wc[0，t1]非奇异”同样也是“系统完全能达”的充要条件。据此可以导出，对连续时间线性时不变系统系统，有系统完全能控Wc[0，t1]非奇异系统完全能达这就表明，对连续时间线性时不变系统，能控性等价于能达性。因此，本节给出的相对于能控性的判据均可适用于能达性。4.2连续时间线性时不变系统的能控性判据秩判据结论4.2对n维连续时间线性时不变系统（4.7），系统完全能控的充分必要条件为能控性判别矩阵满秩，即rankQc=n],,,[12BABAABBQnc证充分性已知rankQc，欲证系统完全能控。采用反证法，设系统不完全能控，则据格拉姆矩阵判据知，格拉姆矩阵为非奇异。这意味着状态空间中至少存在一个非零状态α，类似结论4.1中必要性证明过程可得],0[,01ttBeAtT将上式对t求导直至(n-1)次，再在导出结果中令t=0，得0,,0,0,012BABAABBnTTTT4.2连续时间线性时不变系统的能控性判据进而，表上述关系式组为必要性已知系统完全能控，欲证rankQc=n反证法。设rankQcn，即Qc行线性相关。这意味着状态空间中至少存在一个非零状态α，使成立：可导出再据凯莱-哈密尔顿定理知，An，An+1，…均可表示为I，A，A2，An-1的线性组合。基此，上式进一步扩展为于是，对任意t10，可得012cTnTQBABAABB基此，并由α≠0，可知Qc行线性相关，即rankQcn，与题设矛盾，所以系统完全能控。充分性得证。012BABAABBQnTcT1,1,0,0niBAiT,2,1,0,0iBAiT13322,0,!31!210ttBeBtAtAAtIAtTT4.2连续时间线性时不变系统的能控性判据于是，基于上式可导出这意味着，格拉姆矩阵奇异，即系统不完全能控。与已知矛盾，反设不成立，必有rankQc=n。必要性得证。证明完成。10,001tWdteBBecTttATAtTT],[10ttWc4.2连续时间线性时不变系统的能控性判据其中，R和C可取任意有限值。通过计算得到据所示电路，定出状态方程为例4.52,1110012121nuRCRCxxRCRCxx22)(11)(11RCRCRCRCABBQc容易判定，rankQc=12=n。据秩判据知，系统不完全能控。u(t)Cx1x2RRCRCxuxdtCdxRxudtCduicc11114.2连续时间线性时不变系统的能控性判据PBH判据结论4.3n维连续时间线性时不变系统（4.7）完全能控的充分必要条件为：Cs或其中，C为复数域，λi为系统特征值。(例4.7)ninBAIranki,....,2,1],[nBAsIrank],[结论4.4n维连续时间线性时不变系统（4.7）完全能控的充分必要条件为：矩阵A不存在与B所有列正交的非零左特征向量，即对矩阵A所有特征值λi，使同时满足αTA=λiαT，αTB=0的左特征向量αT=0。4.2连续时间线性时不变系统的能控性判据结论4.5结论4.6对n维线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能控的充分必要条件是对状态矩阵线性非奇异变换导出的约当规范形中矩阵B中不包含零行向量。（4.50）对n维线性时不变系统，若A为约当阵，特征值有重根系统完全能控的充分必要条件是：对应特征值相同的各约当小块最后一行对应的B阵各行向量线性无关。（4.57）例题4.9约当规范形判据4.2连续时间线性时不变系统的能控性判据能控性指数结论4.7定义4.10],,[1BAABBQkk对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为：μ＝使“rankQk=n”成立的最小正整数k。当k=n时，Qk为能控性判别矩阵对完全能控单输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则系统能控性指数μ＝n。结论4.8对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，设rankB=r，则能控性指数满足1rnpn4.2连续时间线性时不变系统的能控性判据结论4.10结论4.8证明对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，设rankB=r，为矩阵A的最小多项式次数，则能控性指数满足结论4.9n]1,min[rnnpn多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，且rankB=r,则系统完全能控的充分必要条件为：nBAABBrankrankQrnrn],,[14.2连续时间线性时不变系统的能控性判据结论4.11多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，且rankB=r,将Qμ表为ppppbAbAbAbAbAbAAbAbAbbbbQ12111222122121,,,,,,,,,,,,并从左至右依次搜索Qμ的n个线性无关列，即若某个列不能表成其左方各线性独立列的线性组合就为线性无关，否则为线性相关。考虑到B中有且仅有r个线性无关列，且不妨令为，再将按次搜索方式得到的n个线性无关列重新排列为rbbb,,,21;,,,;;,,,;,,,121221111rrrbAAbbbAAbbbAAbbnr21r,,,max21r,,,21其中则且称为系统的能控性指数集。（例4.10略讲）感谢关注THANKYOUFORYOURATTENTION