HPM视角下等差数列的教学设计

HPM视角下等差数列前n项和的教学设计王俊辉（华东师范大学数学系，200062）引言等差数列与等比数列是数学史上出现最早，并引起人们极大兴趣的数学问题。在苏格兰埃及学家莱因得（A.H.Rhind）于1858年购自埃及约成于公元前1650年的纸草（也称莱因得纸草或阿莫斯纸草，今藏于大英博物馆）上，就载有两个等差数列问题（详见下文）。MargaritaPhylosophica（1503）中的木版画（图1）上，描绘了利用抽象符号与小石子运算的情景，画面中心女子的裙服上就有等差数列与等比数列样式的数字。在我国古代，等差数列和等比数列的内容也十分丰富，约成书于公元前2世纪的《周髀算经》将日行轨道按照季节分为不同的七个同心圆，称为“七衡图”（也称七衡六间图，图2），每个同心圆的直径依次成等差数列。图1图2然而，由于各种原因现行教材中有关数列问题的数学史材料较少，教师在课堂教学中也因对有关知识缺乏充分的了解而很少利用历史上丰富的历史问题。《普通高中数学课程标准》（以下简称《标准》）[1]指出：“数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势…”，“数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观”。普通高中数学课程设计中，将数学史以专题的形式纳入选修系列之中。在《上海市中小学课程标准》[2]中将数学史知识配合教学模块融入相应的知识单元中。这些举措委实令人振奋的。随着PHM与课堂教学研究的逐步深入，如何在课堂教学中有效地进行数学史的教学问题也必然会得到一定程度的解决。张奠宙先生在第一届全国数学史与数学教育会议上提交的论文[3]指出，数学史的研究不能只顾学术上的价值，而要更多地服务于社会，特别是渗透到面广量大的数学教育领域。李文林教授认为[3]，把“为教育而历史”作为数学史研究三重目的之一，即“将数学史应用于数学教育，发挥数学史在培养现代化人才方面的教育功能。”我们有理由相信，在众多数学史研究者的共同努力下，数学史必将在数学教育中占有应有的地位。这里我们以“等差数列”一节为例，以课时为单位，设计一节以历史名题作为“样本例”的课例，为课堂教学提供参考。1.“等差数列的前n项和”教学设计1.1.教学设计理念《标准》指出，“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态”。现行人教版教材是以“高斯求和”问题作为引例，而苏教版则以“求一堆梯形排列的钢管总数”问题作为引例。二者在处理推导“等差数列前n项和”的公式时，都采用了等差数列首尾项结合的办法。由于学生对“高斯求和”问题较为熟悉，“钢管问题”借助图形比较直观，因此，这两个引例的安排是比较适当的。在推导出公式后，接下来安排的例题都是公式的变式应用，是为学生熟练公式设计。这里我们采用历史名题，不仅仅是公式的变化应用，而且是让学生了解数学史中等差数列的发展，引发学生用所学的知识对前人的解法进行思考与探究，激发学生的学习兴趣，学会将文字叙述题转化为数学符号表示的问题。1.2.教学过程1.2.1情景创设及公式推导教师让学生回顾熟悉高斯求和问题或学生教材中的“求钢管总数”问题。[引例1]“高斯求和”问题或“求钢管总数”问题，略。在此引例中，教师应注意给出等差数列前n项和的意义及字母表示an，并引导学生理解求等差数列前n项和的“逆序相加法”的基本原理，得出公式1()2nnnaaS.中国古代文物或文献中，有关等差数列的内容十分丰富，而且问题饶有趣味。教师出示引例2.[引例2]（公元五世纪，《张丘建算经》，第23题）：今有女不善织，日减功迟。初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。问织几何。此题设计目的是再次利用“逆序相加法”求等差数列的前n项和。教师呈现此题后，引导学生读题，了解题目大意，教师对“日减功迟”、“讫”等词语给予必要的解释。然后，由学生将此题转化为“已知等差数列为{}na，1305,1aa，求30S”，教师要引导学生学会寻找解决问题必需的条件，如此题中的n。为验证求等差数列的“逆序相加法”，教师可出示《张丘建算经》上给出的解法：“并初、末日尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。”教师进一步利用数列通项公式1(1)naand完成对公式1()2nnnaaS的变形1(1)2nnnSnad，并引导学生理解两公式的意义。另外，在解决此题时，可以引导学生设想有两个女织工，一个善织，一个不善织（刚好与善织者相反）。两人同时织布，由于一个“日减功迟”，一个“日益功疾”，那么两人每天共同织布量是保持不变的。用这样的故事说明公式的形成过程，人物鲜活，情节生动形象。从这个意义上理解公式，可以取得事半功倍的效果。1.2.2例题学习与知识运用《标准》在“说明与建议”中指出，“在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系。但训练要控制难度和复杂程度”。因此，在课堂上，教师应对学生进行数列前n项和公式必要的应用训练以及变式训练，以此来加强学生对公式的理解与把握。约成书于公元1世纪的《九章算术》衰分章、均输章、盈不足章中都有许多等差数列问题。为适应学生学习状况，教师可以选择其中的问题，必要的时候对有些问题稍加修改。比如，出示例1对学生进行公式的直接运用训练。例1（《九章算术》，均输章，第17题改编）：今有金箠，长五尺。斩本一尺，重四斤；斩末一尺重两斤。问金箠重几何．．．．．？原问题为“问次一尺各重几何？”。改编的目的是加强学生对利用“逆序相加法”推导公式过程的理解与对公式的运用，以及提高将文字题转化为数学符号题的能力。由学生自行将问题转化为：已知等差数列为{}na，154,2aa，求5S，并直接代入公式求解。例2（公式的变式运用，公元五世纪，《张丘建算经》，第22题）：今有女善织，日益功疾。初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何。此例与引例2相呼应。这是一个已知等差数列的首项1a、项数n与和nS，求公差的问题。教师应引导学生比较二者之间的差异，以突出条件和问题，使学生理解公式变式运用，灵活选择公式。教师可以引导学生将公式1(1)2nnnSnad变形为1221nSandn，从而求得解。最后，教师可以将《张丘建算经》中的解法出示给学生：“置今织尺数，以一月日而一，所得，倍之。又倍初日尺数，减之，余为实。以一月日数。初一日减之为法，实如法而一。”在与引例2解法比较的过程中，让学生体会文字解法的复杂与晦涩难懂，符号表示的简洁与便利，从而体会数学符号化对现代数学发展的促进作用。当然，也要引导学生对中国古代数学成就表示欣赏，并保有一份敬意。上文提及的莱因得纸草上，载有这样两个等差数列：例3（公式的变式运用，约公元前1650年，莱因得纸草或阿莫斯纸草）：五人按等差数列分100片面包，最少的两份之和是另外三份的17。每人分得多少？例4（同例3）：10人分10斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前一人少18，问如何分？例3是一个“已知等差数列的项数n=5，和Sn=100以及a1+a2=17(a3+a4+a5)，求各项”的问题；例4是一个“已知等差数列的项数n=10，和Sn=10以及d=-18，求各项”的问题。可以让学生自行完成解答，教师可以向学生展示纸草上的解法，但不要求学生掌握此解法。此二题均要求学生能灵活的应用等差数列的前n项和公式。无独有偶，《九章算术》中有与例3极其相似的两道题目。教师可以出示作为学生的补充练习。《标准》在课程目标中明确提出：“提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断”[1]，并给出了参考案例，以教育贷款为例，体会等差数列在生活中广泛的应用，“使学生理解数列模型的作用，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力”[1]。例5教育储蓄[1]。（1）依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期（3年）或6年时一次可支取本金共多少元？（2）欲在3年后一次支取教育储蓄本金合计1万元，每月应存入多少元？本题改编自参考案例，原案例中涉及利息的求法，属等比数列问题。1.2.3练习练习1（约公元一世纪，《九章算术》均输章，第18题）：今有五人分五钱，令上二人所得与下三个等，问各得几何。练习2（同练习1，第19题）：今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升，问中间二节欲均奢，各多少。1.2.4设计说明本节课的设计意图是展示如何充分利用数学史知识进行中学数学课堂教学，其中的例子不一定要全部采用，受教学时间的限制，教师可以有选择地使用。在本设计中，充分考虑到数学知识在数学史中的发展历程，中外等差数列在不同历史时期的发展状况以及比较，有助于学生全面了解相关知识，并对学生的数学史观产生影响。数学史料的灵活运用，应以激发学生的学习兴趣为主，对古代名题中的文言文问题，教师应该做出解释，不应成为学生的负担。教学中教师应有意识培养学生的数学建模能力，以及将实际问题转化为数学问题的能力。参考文献：[1].普通高中数学课程标准（实验），北京：人民教育出版社，2003年[2].上海市中小学课程标准，上海：？？？？？[3].发掘数学史教育功能促进数学教育发展------第一届全国数学史与数学教育会议综述，自然辩证法通讯，2005年4期