高一函数单调性

盛阳教育SHENGYANGEDUCATION高中部●数学学科组1函数单调性1.单调性与单调区间（1）如果一个函数在某个区间上是增函数或者减函数，就说找个函数在这个区间上具有单调性。证明函数的单调性，必须严格按照单调性的定义来证明。12,xx的三个特征一定要予以重视，函数单调性定义中的12,xx有三个特征：一是任意性；二是有大小，通常规定12xx；三是同属一个单调区间，三者缺一不可。（2）函数的单调性是函数咋某个区间上的性质①这个区间可以是整个定义域②这个区间也可以是定义域的真子集③有的函数不具备单调性（3）区间端点的写法对于单独一点，它不会影响函数的单调性，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点。2.函数单调性的判断（1）定义法：①定义域内任取12,xx，且12xx；②作差12()()fxfx，变形；③定号（即判断12()()fxfx的正负）；④下结论（指出函数()fx在给定定义域上的单调性）（2）图象法：先做出函数图象，利用图象直观判断函数的单调性（3）直接法：常规函数可直接写出它们的单调区间。（4）常用结论：①函数()yfx与函数()yfx的单调性相反；②函数()fx与()fxc（c为常数）具有相同的单调性；③当0c时，函数()fx与()cfx具有相同的单调性；当0c时，它们具有相反的单调性；④若()0fx，则函数()fx与1()fx具有相反的单调性；⑤若()0fx，则函数()fx与()fx具有相同的单调性；盛阳教育SHENGYANGEDUCATION高中部●数学学科组2⑥若()fx、()gx具有相同的单调性，则()()fxgx也与()fx、()gx具有相同的单调性；⑦若()fx、()gx具有相反的单调性，则()()fxgx具有与()gx相反（与()fx相同）的单调性。3.函数单调性的证明（用定义法证明）4.复合函数单调性的判断()ugx()yfu()yfgx增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单调性相同时递增，相异时递减因此复合函数的单调性可按下列步骤操作（以()yfgx为例）（1）将复合函数分解成基本初等函数：()yfu，()ugx（2）分别去顶各个函数的定义域（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间5.函数单调性的判一般应用（1）利用单调性比较大小（2）求参数的范围：已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题。（3）求值域或最值：应用函数的单调性。可以求函数的值域，可以解决与值域有关的问题，可以求函数的最大值或最小值。盛阳教育SHENGYANGEDUCATION高中部●数学学科组31.证明函数1()fxxx在（0，1）上是减函数。2.求证：函数()(0)afxxax在0,a上是减函数，在,a上是增函数。3.已知()gx是,mn上的减函数，且()agxb，()fx是,ab上的增函数，求证()fgx在,mn上也是减函数。4.已知函数()fx的定义域为R，满足1()0()fxfx，且()()gxfxc（c为常数）在区间,ab上是减函数，判断并证明()gx在区间,ba上的单调性。5.讨论函数21()20fxxx的单调性。6.判断函数22(2)444xyxx在(2,)上的单调性。7.已知函数()fx的定义域为R，且对m、nR，恒有()()()1fmnfmfn，且1()02f，当12x时，()0fx。（1）求证：()fx是单调递增函数；（2）试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证。8.已知函数22(),1,xxafxxx。（1）当12a时，求函数()fx的最小值；（2）若对任意1,x，()0fx恒成立，试求实数a的取值范围。盛阳教育SHENGYANGEDUCATION高中部●数学学科组49.函数()fxx和()(2)gxxx的递增区间依次是（）A.,0，,1B.,0，1,C.0,，,1D.0,，1,10.函数()fx在区间（-4，7）上是增函数，则(3)yfx的递增区间是（）A.（-2，3）B.（-1，10）C.（-1，7）D.（-4，10）11.已知()fx是R上的增函数，令()(1)(3)Fxfxfx，则()Fx是R上的（）A.增函数B.减函数C.先减后增函数D.先增后减函数12.设函数()fx是(,)上的减函数，则（）A.()(2)fafaB.2()()fafaC.2()()faafaD.2(1)()fafa13.已知2()2(1)2fxxax在区间1,5x的最小值为(5)f，则a的取值范围为14.已知函数()fx对任意实数,xy满足()()()2fxfyfxy，当0x时，()2fx（1）求证：()fx在R上是增函数；（2）若(1)3f，解不等式(23)3fa15.已知函数()fx对任意实数,xyR，总有()()()fxfyfxy，且当0x时，()0fx，2(1)3f。（1）求证：()fx在R上是减函数；（2）求()fx在3,3上的最大值与最小值。