直线与平面垂直的判定(典型课件)

2.3.1直线与平面垂直的判定生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？实例引入旗杆与底面垂直思考.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系.ABα1.旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直.C1B1C2.直线AB垂直于平面内的任意一条直线．lP如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直，记作．l平面的垂线直线l的垂面垂足直线与平面垂直l线面垂直的定义常这样使用laa简记：线面垂直，则线线垂直la如果一条直线垂直于一个平面内的一条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？不一定两条呢？无数条呢？lP直线与平面垂直除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？准备一块三角形纸片,过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌上（BD、DC与桌面接触）.ABCD思考(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？BDCABD,CD都在桌面内，AD⊥CD,AD⊥BD,BD∩CD=D，直线AD所在的直线与桌面垂直lmnP判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．balAalblabAbal作用：判定直线与平面垂直直线与平面垂直判定定理简记为：线线垂直线面垂直例1求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.已知：a//b，a求证:bab证明：设m是内的任意一条直线mmamambba//bm可作定理使用如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时，？ABCDDCBAABCDDBCAAABBCCDD底面四边形对角线相互垂直．ABCD随堂练习线面垂直判定定理的应用例1：已知：如图1，空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，取BC中点E，连接AE、DE，求证：BC⊥平面AED.图1证明：∵AB＝AC，DB＝DC，E为BC中点，∴AE⊥BC，DE⊥BC.又∵AE∩DE=E，∴BC⊥平面AED.PABCO2.如图，圆O所在一平面为，AB是圆O的直径，C在圆周上,且PAAC,PAAB,求证：（1）PABC（2）BC平面PAC,,,解：（1）且又ABACABACAPAACPAABPABCPABCPACBCAACPAPABCACBC，ABOC面又得由为直径上一点为圆,1)2(证明：∵PA⊥⊙O所在平面，BC⊂⊙O所在平面，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O直径，∴AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE，∵AE⊥PC,PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.例3：如图6，已知PA⊥⊙O所在平面，AB为⊙O直径，C是圆周上任一点，过A作AE⊥PC于E，求证：AE⊥平面PBC.图6VABC.DVA=VC，AB=BC,ABCV求证:VB⊥AC.中，在三棱锥1.如图，提示：找AC中点D,连接VD,BD2.已知：正方体中，AC是面对角线，BD′是与AC异面的体对角线.求证：AC⊥BD′ABDCA′B′CD′′∵正方体ABCD-A′B′C′D′∴DD′⊥正方形ABCD∴DD′⊥AC证明：连接BDABDCA′B′C′D′∵AC、BD为对角线∴AC⊥BD∵DD′∩BD=D∴AC⊥平面D′DB且BD′⊂面D′DB∴AC⊥BD′OPAα斜线斜足线面所成角（锐角∠PAO）射影关键：过斜线上一点作平面的垂线线面所成的角斜线和平面所成的角1、直线和平面垂直＝直线和平面所成的角是直角直线和平面平行或在平面内＝直线和平面所成的角是0°2、直线与平面所成的角θ的取值范围是：___________201.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:A1C1与面BB1D1D所成的角。A1D1C1B1ADCB45o2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角CDC1D1B1A1BAO111111111111111111111111111111111111,,,.,,.22,,21,30.2BCBCOAOABBCABBBABBCCBABBCBCBCBCABCDAOABABCDBAOABABCDaRtABOABaBOaBOABBAOABAB解：连接交于点连接，平面又平面为斜线在平面内的射影，为与平面所成的角.设正方体的棱长为在中，直线和平面130.CD所成的角为求直线和平面所成的角，当直线和平面斜交时，常有以下步骤：①作——作出或找到斜线与射影所成的角；②证——论证所作或找到的角为所求的角；③算——常用解三角形的方法求角；④结论——说明斜线和平面所成的角值．图5A.223B.23C.24D.131.如图5，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为()A2.若斜线段AB是它在平面α内的射影长的2倍，则AB与α所成的角为()A．60°B．45°C．30°D．120°答案：D解析：如图22，连接A1C1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角．AB＝BC＝2⇒A1C1＝22，又AA1＝1，∴AC1＝3⇒sin∠AC1A1＝AA1AC1＝13.图22(1)若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（）A．有且只有一个B．可能存在也可能不存在C．有无数多个D．—定不存在(2)正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且PA⊥平面ABCD，则在△PAB、△PBC、△PCD、△PAD、△PAC及△PBD中，为直角三角形有______个B课堂练习51．直线与平面垂直的概念（1）利用定义；（2）利用判定定理．3．数学思想方法：转化的思想空间问题平面问题知识小结2．直线与平面垂直的判定线线垂直线面垂直垂直与平面内任意一条直线（3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面4．直线与平面所成的角.]90,0[范围：P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影(2)若PA＝PB＝PC，则O是△ABC的_____；(3)若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的_____；(4)若P到△ABC三边的距离相等，且O在△ABC内部，则O是△ABC的______；(5)若PA、PB、PC两两互相垂直，则O是△ABC的_____．外心垂心内心垂心0(1).,90,__.PAPBPCCOAB若则是边的点中解析：(2)如图23，∵PO⊥平面ABC，∴PA、PB、PC在平面ABC上的射影分别是OA、OB、OC.又∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC.∴O是△ABC的外心．图23图24(3)如图24，∵PO⊥平面ABC，∴PA在平面ABC上的射影是OA.∵BC⊥PA，∴BC⊥OA.同理可证AC⊥OB，∴O是△ABC的垂心．(4)如图25，图25P到△ABC三边的距离分别是PD、PE、PF，则PD＝PE＝PF.∵PO⊥平面ABC，∴PD、PE、PF在平面ABC上的射影分别是OD、OE、OF.∴OD＝OE＝OF，且OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴O是△ABC的内心．∵PO⊥平面ABC，∴OA是PA在平面ABC上的射影．又∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.∴OA⊥BC.同理可证OB⊥AC.∴O是△ABC的垂心．(5)如图26，图26例1：如图，在四面体P－ABC中，若PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB.PABC思维突破：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面垂直的定义得出线线垂直．证明：过P作PH⊥平面ABC，垂足为H，连接AH、BH和CH.∵PA⊥BC,PH⊥BC，PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH.又AH⊂平面PAH，∴BC⊥AH.同理AC⊥BH，即H为△ABC的垂心，∴AB⊥CH.∵PH⊥AB，CH∩PH＝H，∴AB⊥平面PCH.∵PC⊂平面PCH，∴PC⊥AB.点评：从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解(证)题中的作用．