高一数学寒假专题—函数的图象苏教版知识精讲

高一数学寒假专题—函数的图象苏教版【本讲教育信息】一.教学内容：寒假专题——函数的图象[来源:学科网ZXXK]二.教学目标：1.掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法.2.会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题.3.用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题.4.掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力.知识要点：说明：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点。运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线。要把表列在关键处，要把线连在恰当处。这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点。[来源:学§科§网Z§X§X§K]一、作函数图象的一个基本方法——描点法例1：作出下列函数的图象：分析：先对四个函数性质进行研究，即研究定义域、值域、奇偶性、单调性，这样对要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势有大概认识。[来源:Z_xx_k.Com]既非奇函数又非偶函数，在［0，＋∞］上是增函数。由此只要在［0，＋∞］上选x的取值列表描点。[来源:学_科_网]是偶函数，在［0，＋∞］上是增函数。由此只要在［0，＋∞］上选x的取值、列表描点，再由偶函数的特征（关于y轴对称）得到所要的图象。（3）函数y＝x－3定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），值域是（－∞，0）∪（0，＋∞），是奇函数，在（0，＋∞）上是减函数。由此只要在（0，＋∞）上选x的取值、列表描点，再由奇函数的特征（关于原点对称）得到所要的图象。图3即为y＝x－3的图象。（4）函数23x的定义域是),0(，值域是)0(，，既非奇函数又非偶函数，在),0(上是减函数。例1既复习了幂函数的图象又掌握了列表描点前避免盲目列表计算的方法.对已经研究过的基本初等函数，由于已经掌握了其图象的大致轮廓，我们只要找出几个关键的点，就可以迅速得到其图象.[来源:学,科,网Z,X,X,K]例2：作出下列函数的图象（1）y＝|x－2|（x＋1）；（2）y＝10|lgx|分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.解：（1）当x≥2时，即x－2≥0时，（2）当x＜2时，即x－2＜0时，这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出（见图5）（2）当x≥1时，lgx≥0，y＝10|lgx|＝10lgx＝x；[来源:学&科&网Z&X&X&K]当0＜x＜1时，lgx＜0，所以：这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出。（见图6）评述：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图象，例如：一次函数，反比例函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数。例3：已知函数的图象如图，则（）A.B.C.D.分析：本题函数()fx的性质主要是用图象语言给出的，由图象提取有助于确定、、、的信息是解决问题的关键。由，则得，于是由，则比较以上两个表示式中项的系数，可得再以图象有.故从而得于是可得，因此决定本题应选A。二、作函数图象的另一个基本方法——图象变换法已知一个函数的图象，通过适当地变换，得到另一个与之相关的函数的图象，这样的绘图方法叫做图象变换，在现阶段应掌握两种图象变换；平移变换及某些特殊的对称变换。（1）平移变换（1）将函数y＝f（x）的图象沿x轴方向平移｜m｜个单位，得到函数y＝f（x＋m）（m≠0）的图象，当m＞0时，向左平移；当m＜0时，向右平移。（2）将函数y＝f（x）的图象沿y轴方向平移｜n｜个单位，得到函数y＝f（x）＋n（n≠0）的图象。当n＞0时，向上平移；当n＜0时，向下平移。例1：把函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得图象对应的函数解析式是（）A.B.C.D.分析：把函数图象向左平移1个单位，即把其中换成，于是得再向上平移1个单位，即得故本题应选C例2：作出函数y＝211xx的图象。分析：将函数解析式变形，得y＝＝＝2＋于是把函数y＝的图象向右平移1个单位，得到函数y＝的图象，再把y＝的图象向上平移2个单位，便可得到函数y＝＋2的图象。为作图准确，可将渐近线平移，过点（1，2）作平行于x轴、y轴的两条直线；另外把x＝0代入解析式得y＝－1＜0。即可画出函数y＝的简图。[来源:Z#xx#k.Com]第二种，某些特殊的对称变换。（1）将函数y＝f（x）的图象关于x轴对称，得到函数y＝－f（x）的图象。（2）将函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，得到函数y＝f（－x）的图象。（3）将函数y＝f（x）的图象关于原点对称，得到函数y＝－f（－x）的图象。（4）将函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，得到函数y＝f－1（x）的图象。（5）保留函数y＝f（x）在x轴上及x轴上方的部分，把x轴下方的部分关于x轴对称到x轴上方，（去掉原来下方的部分），得到函数y＝｜f（x）｜的图象。（6）保留函数y＝f（x）在y轴上及y轴右侧的部分，去掉y轴左侧的部分，再将右侧图象对称到y轴左侧，得到函数y＝f（｜x｜）的图象。例3：作出函数y＝－（）|x|的图象。解：令f（x）＝（）x，则f（|x|）＝（）|x|。再令g（x）＝（）|x|，则y＝－g（x）＝－（）|x|。可以看到，经过两次对称变换，便可得到函数y＝－（）|x|的图象。图象变换有三要素：变换对象，变换结果，变换过程。题型要求是知二求一。例4：作函数y＝|log2|x－2||的图象[来源:Z&xx&k.Com]分析：把函数y＝log2x的图象往右移2个单位得到函数y＝log2（x－2）的图象；由于x＞2，函数y＝log2（x－2）在直线x＝2的右边，它及其关于直线x＝2对称的图形就是函数y＝log2|x－2|的图象；最后把在x轴下边的图形以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分保持不变，就得到了函数y＝|log2|x－2||的图象（如图7）。评述：用图象变换的方法作函数图象的基础是熟悉基本初等函数的图象，在变换前要明确以哪个基本函数的图象为变换对象，进行什么变换？怎样进行变换？例5：设函数y＝f（x）定义在实数集上，函数y＝f（x－1）与函数y＝f（1－x）的图象关于（）A.直线y＝1对称B.直线y＝0对称C.直线x＝0对称D.直线x＝1对称分析：如果用（x＋1）代替f（x－1）＝f（1－x）中的x，可得f（0＋x）＝f（0－x），根据偶函数定义及其图象特征，对称轴的方程是x＝0，故选C。这样的解答是错误的，错在等式f（x－1）＝f（1－x）上，这里“等号”是没有依据的。根源在于混淆了一个函数的图象的对称性与两个函数的图象的对称性这两个概念。函数y＝f（x－1）的图象是由函数y＝f（x）的图象右移一个单位得到的。函数y＝f（1－x）＝f[－（x－1）]是由函数y＝f（x）的图象右移一个单位，再作关于直线x＝1对称的图形而得到的。或由函数y＝f（x）的图象关于y轴对称得到函数y＝f（－x）的图象，再右移一个单位，即得到y＝f[－（x－1）]的图象，就是y＝f（1－x）的图象。因此本题正确答案为D。评述：由例题分析中看出：给出了变换对象和变换结果而寻找其变换方法和步骤，原则上方法是不惟一的。由例题分析中还应当明确：设函数y＝f（x）定义在实数集上，且满足f（x－1）＝f（1－x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝0对称。这是一个函数的对称性的概念。【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1、将函数的图象（）。[来源:学科网]A.先向左平行移动1个单位B.先向右平行移动1个单位[来源:Zxxk.Com]C.先向上平行移动1个单位D.先向下平行移动1个单位2、当a≠0时，函数f（x）＝ax＋b和g（x）＝（ba）x的图象只可能是图8中的（）3、方程log2（x＋4）＝3x的实数解的个数是（）A.0B.1C.2D.34、若函数y＝f（x＋2）是偶函数，则函数f（x）（）A.以x＝2为对称轴B.以x＝－2为对称轴C.以y轴为对称轴D.不具有对称性5.（1）将曲线y＝lgx向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到曲线c。如果曲线c＇与c关于原点对称，则曲线c＇所对应的函数式是______。（2）将函数y＝f（2x＋1）向______平移______个单位，得到函数y＝f（2x－5）的图象。6、将函数y＝f（－x）的图象向右平移1个单位，再关于原点对称后，得到的函数解析式为______。二、作图题[来源:Zxxk.Com]1、作函数11yx的图象。2、作出分段函数21xxy的图像3、作出函数|32|2xxy的函数图像。【试题答案】1、分析：这里函数的图象不是函数的图象进行的指定平移变换的结果.依题意，这个结果是函数的反函数的图象（此处用到形的关系向数转化）.而函数的反函数的图象（此处用到形的关系向数转化）。而函数的反函数是，于是这里选D就是明显的了。2、分析：f（x）是a≠0的一次函数，g（x）＝（ba）x是指数函数。先观察y＝f（x）的图象，在A中应有a＞0且0＜b＜1；在B中应有a＞0且b＞1；在C中应有a＜0，b＞1；在D中应有a＜0，0＜b＜1。因此，对于A，可得0＜ba＜1；对于B，可得ba＞1；对于C；可得0＜ba＜1；对于D，可得ba＞1。由以上所得，结合指数函数图象的性质可知，只有A才可能是正确的，因此本题选A。评述：例题要求把图象反映出来的函数性质同函数解析式有关数的性质联系起来。该题培养了学生观察能力，识图能力，把形与数有机地联系在一起，对求函数解析式是有很大作用的。3、分析：求出方程的解，再数解的个数的方法这里是行不通的，应该用数形结合法。在同一个平面直角坐标系中，作出y＝log2（x＋4）与y＝3x这两个函数的图象（如图9），由于两曲线有二个公共点，因此原方程有二个实数解，故本题选C。评述：函数图象在方程中的作用是很大的，如一元二次方程实根分布问题，利用二次函数图象和数形结合的方法，可以较简捷的进行.函数与方程之间的内在联系是中学数学学习时必须重视的问题。4、分析：函数y＝f（x＋2）是偶函数，那么其函数图象关于y轴成轴对称图形，又函数f（x）的图象可由f（x＋2）的图象向右平移2个单位而得到，此时y＝f（x＋2）的对称轴——直线x＝0——也向右平移了两个单位，故而y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，选A。[来源:学|科|网]5、（1）c：y＝lg（x＋1）－2；c＇：－y＝lg（－x＋1）－2，即y＝－lg（1－x）＋2（2）令g（x）＝f（2x＋1），则f（2x－5）＝f[（2x－6）＋1]＝f[2（x－3）＋1]＝g（x－3）。故向右平移3个单位。6、分析：令y＝g（x）＝f（－x），则y＝g（x－1）＝f[－（x－1）]＝f（－x＋1）。再令h（x）＝f（－x＋1），则y＝－h（－x）＝－f[－（－x）＋1]＝－f（x＋1）。求变换结果关键是替换，下一个变换对象是前一个变换的变换结果，为提高准确率，不妨把每一个变换对象记作f（x），g（x），h（x）……，这样替换起来更直观，容易操作。二、作图题1、分析：已知函数的定义域为R，且显然为偶函数。又当0x时，11yx，它的图象可由1yx的图象向左平移1个单位，并截取所得图象在0x的部分，最后再作所得图形关于轴对称的图形，即将所要求的函数图象（如图）。2、解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：21xxy＝123)12(xx1122xxx作出图像如下3、解：032)32(032322222xxxxxxxxy步骤：（1）作出函数y＝x22x3的图象（2）将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y＝|x22x3|的图象。