高一数学备课组复习必修1~4讲义19圆的方程直线与圆的位置关系

2009~2010年高一数学备课组复习必修1~4讲义第十九节圆方程、直线与圆的位置关系共4页第1页2009~2010年高一数学备课组复习必修1~4讲义第十九节圆的方程、直线与圆的位置关系一、内容提示：1.圆的方程：圆的标准方程：222()()xaybr（圆心(,)ab，半径为r）圆的一般方程：220xyDxEyF（其中2240DEF），圆心为点)2,2(ED，半径2422FEDr（Ⅰ）当2240DEF时，方程表示一个点，这个点的坐标为(,)22DE（Ⅱ）当2240DEF时，方程不表示任何图形。2.直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种（Ⅰ）若22BACBbAad，dr相离，即直线与圆没有公共点；（Ⅱ）dr相切，即直线与圆只有一个公共点；（Ⅲ）dr相交，即直线与圆有两个公共点。3.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为12,OO，半径分别为12,rr，dOO21。12drr外离；12drr外切；1212rrdrr相交；12drr内切；120drr内含。二、例题分析：【例1】求经过原点，且过圆0216822yxyx和直线50xy的两个交点的圆的方程。【例2】已知直线l:052yx与圆C:36)1()7(22yx.（1）判断直线l圆的位置关系;（2）求直线l被圆C所截得的弦长.2009~2010年高一数学备课组复习必修1~4讲义第十九节圆方程、直线与圆的位置关系共4页第2页三、典题精练：1.圆22(2)5xy关于原点(0,0)P对称的圆的方程为()A.22(2)5xyB.22(2)5xyC.22(2)(2)5xyD.22(2)5xy2.若)1,2(P为圆25)1(22yx的弦AB的中点，则直线AB的方程是()A.03yxB.032yxC.01yxD.052yx3.圆012222yxyx上的点到直线2yx的距离最大值是()A.2B.12C.221D.2214.圆0422xyx在点)3,1(P处的切线方程为()A.023yxB.043yxC.043yxD.023yx5.圆心在直线270xy上的圆C与y轴交于两点(0,4),(0,2)AB,则圆C的方程为____________.6.从点4,5P（）向圆（x－2）2＋y2＝4引切线，求切线方程。7.自33A（，）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆C：224470xyxy相切，求光线l所在直线方程。8.求经过直线l：240xy及圆C：222410xyxy的交点，且面积最小的圆的方程。9.已知圆C和y轴相切，圆心在直线03yx上，且被直线xy截得的弦长为72，求圆C的方程。四、方法反馈：1、在求解有关直线与圆的位置关系的问题时，要充分利用圆的几何性质，从而达到简化运算的目的：(1)当圆与直线l相离时，圆心到l的距离大于半径；过圆心且垂直于l的直线与圆的两个交点，分别是圆上的点中到l的距离的最大、最小的点。(2)当圆与直线l相切时，圆心到l的距离等于半径；圆心与切点的连线垂直于l；过圆外一点可作两条圆的切线，且此两切线长相等。(3)当圆与直线l相交时，圆心到l的距离小于半径，过圆心且垂直于l的直线平分l被圆截得的弦；连结圆心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所有弦中，最短的弦是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的弦是过这点的直径。2、求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点在圆上还是在圆外，再设切线方程为点斜式，用圆心到直线的距离等于半径或利用=0求出切线的斜率，从而求得切线的方程，但要注意有时在求过圆外一点的切线方程时，其两条切线中往往有一条切线的斜率不存在，由此而产生漏解。3、已知圆的切线的斜率求圆的切线方程，可设切线方程为斜截式，具体操作方法同上。但此种情形的圆的切线应有两条。2009~2010年高一数学备课组复习必修1~4讲义第十九节圆方程、直线与圆的位置关系共4页第3页五、答案参考：【例1】解法一：由050216822yxyxyx，求得交点2,3或4,1设所求圆的方程为220xyDxEyF．∵(00)(23)(41)，，，，，三点在圆上，∴04116032940FEDFEDF，解得199,,055DEF所求圆的方程为：22199055xyxy解法二：设所求圆的方程为228-621-50xyxyxy．将原点(0,0)代入上述方程得215，所求圆的方程为：22199055xyxy【例2】（1）解法一:由方程组05236)1()7(22yxyx(Ⅰ)消去y后整理，得0615052xx,∵012806154)50(2,∴方程组(Ⅰ)有两组不同的实数解,即直线l与圆C相交.解法二:圆心(7,1)到直线l的距离为52)2(15127122d,因6rd，故直线l与圆C相交.（2）解法一:由方程组05236)1()7(22yxyx，得0615052xx，设直线l与圆C的两交点为),(11yxA、),(22yxB，则561,102121xxxx∴212||1ABxxk212125()482xxxx∴直线l被圆C所截得的弦长为8。解法二:∵圆心(7,1)到直线l的距离为52)2(15127122d,又圆的半径r=6，∴直线l被圆C所截得的弦长为2228rd2009~2010年高一数学备课组复习必修1~4讲义第十九节圆方程、直线与圆的位置关系共4页第4页三、典题精练：1.A解析：(,)xy关于原点(0,0)P得(,)xy，则得22(2)()5xy，即22(2)5xy。2.A解析：设圆心为(1,0)C，则,1,1,12CPABABCPkkyx,即03yx。3.B解析：圆心为(1,1),1,Cr圆心到直线的距离为2，max12d。4.D解析：圆2224xy（）的圆心为(2,0)C，则3PCk，133lPCkk,所以切线方程为：33(1)3yx，即023yx。5.22(2)(3)5xy解析：圆心既在线段AB的垂直平分线即3y，又在270xy上，即圆心为(2,3)，5r，所以圆的方程为22(2)(3)5xy。6.解：当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为5(4)ykx－＝－即540kxyk－＋－＝，又圆心坐标为(2,02r）,＝因为圆心到切线的距离等于半径，即2021,21|4502|2kkkk所以切线方程为2120160xy－＋＝当切线的斜率不存在时，也符合条件，所以还有一条切线是4x。所以，所求的切线方程为：2120160xy－＋＝或4x。7.解：圆C的方程为：1)2()2(22yx，它关于x轴对称圆C的方程为：1)2()2(22yx，设光线l所在的直线方程为：33ykx，则光线l所在的直线必与圆C相切，故11|55|2kk，即01225122kk，解得4334kk或，∴光线l所在直线方程为0334yx或0343yx8.解：设所求圆的方程为0)42(14222yxyxyx，即041)4()22(22yxyx，则所求圆的圆心为)22,1(。∴04)22()1(2，解得58，∴所求圆的方程为03712265522yxyx.9.解：设圆心为(3,),tt由于圆C和y轴相切，半径为3rt，令圆心到直线的距离为d，则322ttdt，而22222(7),927,1rdttt22(3)(1)9xy或22(3)(1)9xy