高一数学必修四第三章综合能力检测

第三章综合能力检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.cos215°－sin215°的值是()A.12B．－12C.32D．－32答案：C解析：cos215°－sin215°＝cos30°＝32.2.[2011·福建卷]若α∈(0，π2)，且sin2α＋cos2α＝14，则tanα的值等于()A.22B.33C.2D.3答案：D解析：sin2α＋cos2α＝sin2α＋1－2sin2α＝1－sin2α＝14，所以，sin2α＝34，因为α∈(0，π2)，所以，sinα＝32，cosθ＝12，所以，tanα＝sinαcosα＝3.3．若cosα＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝()A．－12B.12C．2D．－2答案：A解析：∵cosα＝－45且α是第三象限的角，∴sinα＝－35，1＋tana21－tanα2＝1＋sinα2cosα21－sinα2cosα2＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα2＝cosα2＋sinα22cosα2－sinα2cosα2＋sinα2＝1＋sinαcosα＝25－45＝－12.故选A.4．函数y＝cos2(x－π4)－cos2(x＋π4)的值域为()A．[－1,0]B．[0,1]C．[－1,1]D．[－12，1]答案：C解析：可用降幂公式，∵y＝1＋cos2x－π22－1＋cos2x＋π22＝12[cos(2x－π2)－cos(2x＋π2)]＝12(sin2x＋sin2x)＝sin2x，∴－1≤y≤1.5．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为()A.13B．－13C.79D．－79答案：D解析：∵(π6－α)＋(π3＋α)＝π2，∴cos(23π＋2α)＝2cos2(π3＋α)－1＝2sin2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.6．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanA·tanB且sinAcosA＝34，则此三角形是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案：C解析：∵12sin2A＝34，∴sin2A＝32，∴A＝30°或60°.又tanA＋tanB＝－3(1－tanA·tanB)，∴tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3，即tan(A＋B)＝－3，∴A＋B＝120°.若A＝30°，则B＝90°，tanB无意义，∴A＝60°，B＝60°，∴△ABC为等边三角形．7．函数y＝cos2xcosπ5－2sinxcosxsin6π5的递增区间是()A．[kπ＋π10，kπ＋3π5](k∈Z)B．[kπ－3π20，kπ＋7π20](k∈Z)C．[2kπ＋π10，2kπ＋3π5](k∈Z)D．[kπ－2π5，kπ＋π10](k∈Z)答案：D解析：y＝cos2xcosπ5＋sin2xsinπ5＝cos(2x－π5)由2kπ－π≤2x－π5≤2kπ，k∈Z，∴2kπ－45π≤2x≤2kπ＋π5，k∈Z.∴kπ－2π5≤x≤kπ＋π10，k∈Z.8．E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝()A.1627B.23C.33D.34答案：D解析：如图，取AB的中点D，连结CD，则∠ECF＝2∠ECD，设AB＝2a，则CD＝AD＝a，ED＝a3，tan∠ECD＝DECD＝13，∴tan∠ECF＝tan2∠ECD＝2×131－132＝34，故选D.9．已知向量m＝(cosθ，sinθ)和n＝(2－sinθ，cosθ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝825，则cos(θ2＋π8)的值为()A．－45B.45C．－35D.35答案：A解析：m＋n＝(cosθ－sinθ＋2，cosθ＋sinθ)，|m＋n|＝cosθ－sinθ＋22＋cosθ＋sinθ2＝4＋22cosθ－sinθ＝21＋cosθ＋π4.由|m＋n|＝825得cos(θ＋π4)＝725，又θ∈(π，2π)，所以5π8θ2＋π89π8，所以cos(θ2＋π8)0，所以cos(θ2＋π8)＝－1＋cosθ＋π42＝－1＋7252＝－45.10．已知(sinx－2cosx)(3＋2sinx＋2cosx)＝0，则sin2x＋2cos2x1＋tanx的值为()A.85B.58C.25D.52答案：C解析：∵3＋2sinx＋2cosx＝3＋22sin(x＋π4)0，(sinx－2cosx)(3＋2sinx＋2cosx)＝0，∴sinx－2cosx＝0，∴tanx＝2.∴原式＝2cosxsinx＋cosx1＋sinxcosx＝2cos2xsinx＋cosxcosx＋sinx＝2cos2x＝2cos2xsin2x＋cos2x＝2tan2x＋1＝25.11．若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的图像分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为()A．1B.2C.3D．2答案：B解析：依题意得点M、N的坐标分别为(a，sina)，(a，cosa)，∴|MN|＝|sina－cosa|＝|2(sina·22－cosa·22)|＝|2sin(a－π4)|≤2(a∈R)，∴|MN|max＝2.12．定义行列式运算：a1a2a3a4＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝3cosx1sinx的图像向左平移m个单位(m0)，若所得图像对应的函数为偶函数，则m的最小值是()A.2π3B.π3C.π8D.56π答案：A解析：由题知f(x)＝3sinx－cosx＝2(32sinx－12cosx)＝2sin(x－π6)，其图像向左平移m个单位后变为y＝2sin(x－π6＋m)，平移后其对称轴为x－π6＋m＝kπ＋π2，k∈Z.若为偶函数，则x＝0，所以m＝kπ＋2π3，故m的最小值为2π3.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于________．答案：12解析：sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.14．设向量a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，其中0≤θ≤π，则|a＋b|的最大值是__________．答案：2解析：|a＋b|＝1＋cosθ2＋sin2θ＝2＋2cosθ.∵0≤θ≤π，∴－1≤cosθ≤1，|a＋b|的最大值是2＋2＝2.15．已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝45，sinβ＝1213，则cosα－β2的值为__________．答案：76565解析：由已知，得cosα＝－35，cosβ＝513，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝3365.∴2cos2α－β2－1＝3365.∴cosα－β2＝±76565.又∵0α－β2π2，∴cosα－β2＝76565.16．对于下列命题：①函数y＝－sin(kπ＋x)(k∈Z)为奇函数；②函数y＝cos2x的最小正周期是π；③函数y＝sin(－2x＋π3)的图像可由函数y＝－sin2x的图像向左平移π6个单位长度得到；④函数y＝cos|x|是最小正周期为π的周期函数；⑤函数y＝sin2x＋cosx的最小值是－1.其中真命题的编号是__________．(写出所有真命题的编号)答案：①②⑤解析：①中，当k是偶数时，y＝－sinx为奇函数；当k是奇数时，y＝sinx为奇函数，所以①正确；②中，y＝cos2x＝1＋cos2x2，则周期为π，所以②正确；③中，函数y＝－sin2x的图像向左平移π6个单位长度，得函数y＝－sin(2x＋π3)≠sin(－2x＋π3)，所以③不正确；④中，y＝cos|x|＝cosx，则其周期是2π，所以④不正确；⑤中，y＝sin2x＋cosx＝－cos2x＋cosx＋1＝－(cosx－12)2＋54，当cosx＝－1，函数取最小值－1，所以⑤正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知tan(α＋π4)＝－12(π2απ)．(1)求tanα的值；(2)求sin2α－2cos2αsinα－π4的值．解：(1)由tan(α＋π4)＝－12，得1＋tanα1－tanα＝－12.解之，得tanα＝－3.(2)sin2α－2cos2αsinα－π4＝2sinαcosα－2cos2α22sinα－cosα＝22cosα.∵π2απ且tanα＝－3，∴cosα＝－1010.∴原式＝－255.18．(本小题满分12分)求证：sin2x＋11＋cos2x＋sin2x＝12tanx＋12.证明：左边＝sin2x＋12cos2x＋sin2x＝2sinxcosx＋sin2x＋cos2x2cos2x＋2sinxcosx＝sinx＋cosx22cosxsinx＋cosx＝sinx＋cosx2cosx＝12tanx＋12＝右边．∴原等式成立．19．(本小题满分12分)已知sin(α＋3π4)＝513，cos(π4－β)＝35，且－π4απ4，π4β3π4，求cos(α－β)的值．解：∵－π4απ4，∴π2α＋3π4π，∴cos(α＋3π4)＝－1－sin2α＋3π4＝－1213.∵π4β3π4，∴－π2π4－β0，∴sin(π4－β)＝－1－cos2π4－β＝－45.∴cos(α－β)＝－cos[(α＋3π4)＋(π4－β)]＝sin(α＋3π4)sin(π4－β)－cos(α＋3π4)cos(π4－β)＝1665.20．(本小题满分12分)△ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA＋2cosB＋C2取得最大值？并求出这个最大值．解：利用A＋B＋C＝π，把cosA＋2cosB＋C2化为同角三角函数式，再求最大值．由A＋B＋C＝π，得B＋C2＝π2－A2，∴cosB＋C2＝sinA2，∴cosA＋2cosB＋C2＝cosA＋2sinA2＝1－2sin2A2＋2sinA2＝－2(sinA2－12)2＋32.当sinA2＝12，即A＝π3时(∵A是△ABC的一个内角，∴A2＝5π6不合题意，舍去)，cosA＋2cosB＋C2取得最大值32.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－23sin2x＋sin2x＋3.(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；(2)在给出的直角坐标系中(如下图)，画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像．解：(1)f(x)＝3(1－2sin2x)＋sin2x＝sin2x＋3cos2x＝2sin(2x＋π3)．所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，最小值为－2.(2)列表：x,0,π12,π3,7π12,5π6,π2x＋π3,π3,π2,π,3π2,2π,7π3f(x),3,2,0,－2,0,3描点连线得图像，如下图所示．22．(本小题满分12分)[2011·天津卷]已知函数f(x)＝tan(2x＋π4)．(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设x∈(0，π4)，若f(α2)＝2cos2x，求α的大小．解：(1)由2x＋π4≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠π8＋kπ2，k∈Z.所以f(x)的定义域为{x∈R|x≠π8＋kπ2，k∈Z}．f(x)的最小正周期为π2.(2)由f(α2)＝2cos2α，得tan(α＋π4)＝2cos2α，sinα＋π4cosα＋π4＝2(cos2α－sin2α)整理得：sinα＋cosαcosα－sinα＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)因为α∈(0，π4)，所以sinα＋cosα≠0，因此(cosα－sinα)2＝12即sin2α＝12，由α∈(0，π4)，得2α∈(0，π2)，所以2α＝π6，即α＝π12.