陈昊提高初中生数学几何综合题解题能力初探

1题目：提高初中生数学几何综合题解题能力初探所属工作室：初中数学工作室【摘要】在新课程理念的引领下,数学试题更加重视对学生各种能力的考查,试题综合性强,逻辑思维以及分析判断等能力要求高,这对我们的数学教学提出了新的挑战,如何进一步提升学生的数学综合能力,从而更好地分析问题、解决问题，值得深人研究.本文重点分析几何综合题考查形式、内容、解题手段、能力要求以及解题策略，并结合北京市中考题阐述如何提高初中生数学几何综合题解题能力.【关键字】能力、几何综合题、基本图形、一题多解、类比归纳【正文】在新课程理念的引领下,数学试题更加重视对学生各种能力的考查,试题综合性强,逻辑思维以及分析判断等能力要求高,这对我们的数学教学提出了新的挑战,如何进一步提升学生的数学综合能力,从而更好地分析问题、解决问题，值得深人研究.本文重点分析几何综合题考查形式、内容、解题手段、能力要求以及解题策略，并结合北京市中考题阐述如何提高初中生数学几何综合题解题能力.一、对数学能力的认识（一）数学能力数学能力是前苏联心理学家克鲁切茨基1963年提出的概念.从此数学家和心理学家开始研究数学能力，至今已有几十年的历史.在课程标准和中考考试说明中对数学能力的叙述是：空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、分析问题和解决问题的能力.主要表现在以下几个方面：1.数学能力是进行数学活动的能力，是在数学学习活动中形成和发展起来的，只存在于数学活动之中，并且在数学活动中予以体现；2.数学能力是认识客观事物、保证顺利进行数学活动的稳定的心理特征的集合，是影响学生所有数学活动效果的基本因素；3.数学能力是个性化的心理特征，数学能力的直接来源是认知过程；4.数学能力应和数学知识和技能加以区别，知识和技能是数学活动的基础，对数学能力的形成和发展起着重要作用，同时，数学能力的形成能促进顺利地掌2握知识和技能；5.数学能力应包括各种心理过程，如感觉、知觉、记忆、注意、思维、想象等各方面的特点；6.数学能力应体现学生掌握思想方法、发展思维、形成自学等能力；7.数学能力应体现学生自主、创新学习，掌握研究性学习的策略方法.（二）数学能力结构（三）解题能力解题能力一般是指综合运用数学基础知识、基本思想、基本方法、基本经验和逻辑思维规律，对数学问题进行分析、解决的能力.（四）能力评价对数学能力的评价，是指对学生学习数学过程中所表现出来的空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理、分析问题和解决问题的能力的程度、水平的评价.作用于学生身上，同时也是对教师教学能力的考查，是教师改进教学，提高质量的重要参考.二、对初中数学综合题的认识（一）初中数学综合题（以下称为综合题）数学综合题,是指涉及的数学知识比较广泛,运算、论证、作图等比较复杂,需要灵活运用多方面的数学方法和熟练的技能技巧才能解答的题.数学知识之间具有纵向逻辑联系,这些数学知识一般分属于相同的数学分支,主要依靠知识之间的内在逻辑关系实现它们的联系,所谓综合题,就是横跨两个或两个以上知识块的具有一定难度的问题,需要利用包含两个或两个以上知识块中的若干知识点,经过适基础能力数学语言表达、交流能力（核心能力）提出问题、分析问题、解决问题能力思维能力应用能力运算求解能力数据处理能力理解能力综合能力自学能力空间想象能力抽象概括能力推理论证能力数学建模能力创新能力实践能力数学能力3当的计算和推理才能获解的问题.在初中数学中,把一个涉及到代数、几何或概率统计的多个知识点、多项基本技能、多种数学思想方法的问题称为综合题.（二）综合题的特点综合题融合了丰富的数学知识,渗透了重要的数学思想方法,如配方法、换元法、待定系数法、方程与函数思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等,体现了较高的思维能力,如抽象概括、归纳类比、联想转化、分析综合等.在课改形势下,初中数学教科书以及中考数学命题中都以《数学课程标准》为依据出现了许多新特点:探究型问题不时涌现,关注社会生活,聚焦社会热点,实际应用性进一步加强,考查创新意识和实践能力逐步加强,综合考查思维品质.综合题考查知识点、涵盖知识模块多，函数、几何、计算；分段、画图、线段表达等等，题型多样，融合存在性、面积问题、最值问题等，问题设置之间相互关联，层层递进.（三）学生解综合题能力不够的表现学生解答数学综合题能力的强弱,反映着学生理解数学知识和掌握数学能力的程度,一般说来,学生解答数学综合题能力差常表现为:知识不能融会贯通,分析问题能力不强,解题方法不能灵活运用，三、对初中几何综合题的认识初中阶段几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题.学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决.（一）几何综合题有如下常见类型几何综合题，主要有直线形的知识综合，圆与解直角三角形问题，阴影面积问题，图形的变换问题.几何综合题以几何图形的位置问题，元素之间的关系为核心，以直线或者圆为支撑点，包括多个知识点，多种解题思想方法，多步骤等特点，多为探讨几何本质：研究平面几何在运动变化过程中的不变性质和不变量的科学.（二）几何综合题中常见的图形变换几何综合题从整体上看，可以理解把图形的一部分变换到另一个位置，以此实现条件与结论的联系.常用的变换包括：平移，对称，旋转，线段的等比及等积移动，平移，对称，旋转是全等变换不改变线段的长度与角度的大小，相似变换只保留线段的比例关系，线段的长度会发生变化，等积变形只是保留面积不变的情4况下的形变，此外，圆周角的问题等.1.平移常常通过特殊点添加平行线或者利用中位线构造平行线，使得图中的某些线段保长平行，使某些角平移到新的位置等.2.对称分两种中心对称和轴对称，包括有：等腰三角形的底边上的高，一个角的角平分线，线段中点的中心对称，平行四边形的中心对称.一个图形关于某条直线“对折”，采用轴对称，一条线段关于某点旋转180度，采用中心对称.3.旋转在等边或者特殊角的图形中，将图形绕着一个点旋转一个特殊角，往往使分散条件集中或者集中条件分散，显示出若干新的联系.4.线段的等比移动包括平行线分线段成比例及面积比与线段比的转化.5.等积变形三角形同底等高或者等底等高，平行线的应用.四、提高学生几何综合题解题能力（一）积累基本图形——培养学生的“几何感觉”“数学课程标准”在几何方面的学习要求学生“能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系，利用直观来进行思考”.在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解.同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助.在初中几何的学习中，计算、推理和证明的依据是概念和定理，而每一个概念、公理和定理总是对应着一个剔除了无关信息的直观图形，以三角形为例，如：①三角形中与中点有关的基本图形：如图1-1等腰三角形三线合一，如图1-2直角三角形斜边中线等于斜边的一半，如图1-3三角形的中位线，如图1-4倍长中线出全等；图1-4图1-1图1-2图1-35②全等三角形中的基本图形，如图2-1平移型，如图2-2旋转型，如图2-3轴对称型③相似三角形中的基本图形，如图3-1平行“A”字图，如图3-2平行“8”字图，如图3-3一线三等角，如图3-4双垂直图形例1（2013北京24）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.（1）如图4-1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图4-2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值.【解析】（1）（2）为等边三角形[证明：如图4-3，连接、、∵线段绕点逆时针旋转得到线段则，又∵∴1302ABE△ADCDEDBCB60BDBCBD60DBC60ABE160302ABDDBEEBC图2-2图2-1图2-3图3-1图3-2图3-3图4-1DCBA图4-2EDCBA图4-3EDCBA图3-46且为等边三角形.在与中∴≌（SSS）∴∵∴在与中∴≌（AAS）∴∴为等边三角形（3）∵，∴又∵∴为等腰直角三角形∴∵∴而∴【点评】本题第二问在解答的过程中，可以提炼出图4-4的旋转型全等基本图形，进而整理条件，证明全等，结论得到.像这样的题目还有很多，当没有基本图形时，就需要添加辅助线，构造基本图形证明全等，进而得到相应的结论.几何图形问题的解决，几乎都要回归到基本图形的性质，而能否得心应手地运用基本图形，需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题.BCD△ABD△ACO△ABACADADBDCDABD△ACD△1122BADCADBAC150BCE11180(30)15022BECABD△EBC△BECBADEBCABDBCBDABD△EBC△ABBEABE△60BCD150BCE1506090DCE45DECDCE△DCCEBC150BCE(180150)152EBC130152EBC30EDCBA图4-47（二）注重一题多解——锻炼学生思维的灵活性一题多解训练，就是启发和引导学生从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动.上这种课的主要目的有三条：一是为了充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；二是为了锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧；三是为了开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性.例2（2012北京24）在ABC△中，BABCBAC，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ.（1）若且点P与点M重合（如图5-1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出CDB的度数；（2）在图5-2中，点P不与点BM，重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQQD，请直接写出的范围.【解析】⑴如图5-3，∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，∴BM⊥AC，AM=MC，∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，∴AM=MQ，∠AMQ=120°，∴CM=MQ，∠CMQ=60°，∴△CMQ是等边三角形，∴∠ACQ=60°，∴∠CDB=30°；（3）∵∠CDB=90°﹣α，且PQ=QD，∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°﹣2α，∵点P不与点B，M重合，∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，∴2α＞180°﹣2α＞α，图5-1图5-2图5-38∴45°＜α＜60°．（2）法1：如图5-4连接PC，AD，∵AB=BC，M是AC的中点，∴BM⊥AC，∴AD=CD，AP=PC，PD=PD，在△APD与△CPD中，∵，∴△APD≌△CP