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问题1为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管?这个问题可以归结为,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35m,求AB的长.ABC思考:你能将实际问题归结为数学问题吗?情境探究根据“在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”,即ABC在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35m,求AB的长..21ABBC斜边的对边A可得AB=2BC=70m,即需要准备70m长的水管。在上面的问题中,如果使出水口的高度为50m,那么需要准备多长的水管?结论:在一个直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于。21ABC50m30mB'C'即在直角三角形中,当一个锐角等于45°时,不管这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于。22如图,任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°,∠A=45°,计算∠A的对边与斜边的比,你能得出什么结论?ABBCABC综上可知,在一个Rt△ABC中,∠C=90°,一般地,当∠A取其他一定度数的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值?21当∠A=30°时,∠A的对边与斜边的比都等于,是一个固定值;22当∠A=45°时,∠A的对边与斜边的比都等于,也是一个固定值.探究ABCA'B'C'任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘,使得∠C=∠C’=90°,∠A=∠A‘=,那么与有什么关系.你能解释一下吗?ABBC''''BACB由于∠C=∠C’=90°,∠A=∠A’=所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’,''''BAABCBBC.''C'B'ABBABC即这就是说,在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.探究如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sinA,即caAA斜边的对边sin例如,当∠A=30°时,我们有2130sinsinA当∠A=45°时,我们有2245sinsinAABCcab对边斜边在图中∠A的对边记作a∠B的对边记作b∠C的对边记作c正弦注意sinA是一个完整的符号,它表示∠A的正弦,记号里习惯省去角的符号“∠”;sinA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与斜边的比;sinA不表示“sin”乘以“A”。例1如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sinA和sinB的值.ABC34例题示范ABC135(1)(2).54sin53sin5.34BCACABABCR12222ABACBABBCAt,因此中,),在解:如图(试着完成图(2)练习2254AC35B2、在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sin∠OAB等于____.3、在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是BC边上的中线,AC=2,BC=4,则sin∠DAC=___.4、在Rt△ABC中,∠C=90°,,则sin∠A=___.33ba1、如图,求sinA和sinB的值.5、如图,在△ABC中,AB=CB=5,sinA=,求△ABC的面积。54BAC5528.1锐角三角函数(2)——余弦正切复习与探究:1.锐角正弦的定义在中,RtABCC90ABCabc∠A的正弦:caABBC斜边A的对边sinA2、当锐角A确定时,∠A的对边与斜边的比就随之确定。此时,其他边之间的比是否也随之确定?为什么?新知探索:ABCabc1、你能将“其他边之比”用比例的式子表示出来吗?这样的比有多少?cbba2、当锐角A确定时,∠A的邻边与斜边的比,∠A的对边与邻边的比也随之确定吗?为什么?交流并说出理由。方法一:从特殊到一般,仿照正弦的研究过程;方法二:根据相似三角形的性质来说明。如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,cbAA斜边的邻边cosABC斜边c对边a邻边b★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine),记作cosA,即★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent),记作tanA,即baAAA的邻边的对边tanrldmm8989889注意cosA,tanA是一个完整的符号,它表示∠A的余弦、正切,记号里习惯省去角的符号“∠”;cosA,tanA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比;cosA不表示“cos”乘以“A”,tanA不表示“tan”乘以“A”rldmm8989889对于锐角A的每一个确定的值,sinA有唯一确定的值与它对应,所以sinA是A的函数。同样地,cosA,tanA也是A的函数。cbAA斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tancaAA斜边的对边sin锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.rldmm8989889ABC6.34tan54cos,8610.10356sinsin2222BCACBABACABCABACABCABABBCA,又,解:例1如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,,求cosA和tanB的值.53sinArldmm8989889例2如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AB=3,求∠A,∠B的正弦、余弦、正切值..25tan32cos35sin.55252tan35cos32sin,5232222BCACBABBCBABACBACBCAABACAABBCABCABACABCRt,,,,中,解:在ABC23延伸:由上面的计算,你能猜想∠A,∠B的正弦、余弦值有什么规律吗?结论:一个锐角的正弦等于它余角的余弦,或一个锐角的余弦等于它余角的正弦。rldmm8989889练习课本P65练习1,2.补充练习1、在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6,求sinB,cosB,tanB.ABCDrldmm8989889课后作业1、如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,AB=13,∠BCM=∠BAC,求sin∠BAC和点B到直线MC的距离.MCBA2、如图所示,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,求证:.2BDABBCDCBA28.1锐角三角函数(3)rldmm8989889ABC∠A的对边a∠A的邻边b斜边ccaABBC斜边A的对边sinAcbABAC斜边A的邻边cosAbaACBC边边A的tanA邻对rldmm8989889请同学们拿出自己的学习工具——一副三角尺,思考并回答下列问题:1、这两块三角尺各有几个锐角?它们分别等于多少度?2、每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系?如果设每块三角尺较短的边长为1,请你说出未知边的长度。30°60°45°12311245°新知探索:30°角的三角函数值123sin30°=21斜边A的对边cos30°=23斜边A的邻边tan30°=33A的邻边A的对边30.0CBArldmm898988945.0CAB112cos45°=tan45°=sin45°=22斜边A的对边22斜边A的邻边1A的邻边A的对边新知探索:45°角的三角函数值60.0BAC123sin60°=23斜边A的对边cos60°=21斜边A的邻边tan60°=3A的邻边A的对边新知探索:60°角的三角函数值rldmm898988930°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表:锐角a三角函数30°45°60°sinacosatana1222322212332331rldmm8989889例1求下列各式的值:(1)cos260°+sin260°(2)45tan45sin45cos).60(sin)60(sin60sin60sin22即,)表示(22)23()21(解:原式112222解:原式0rldmm8989889;)(30cos30sin211;)(60sin245tan30tan32;)(30tan160sin160cos3求下列各式的值:.21160cos2145sin2402005)()()(rldmm8989889例2(1)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,,求∠A的度数.3,6BCABABC36,2263sinABBCA解.45Arldmm8989889(2)如图,已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍,求a.ABO3,33tanOBOBOBAO解.60当A,B为锐角时,若A≠B,则sinA≠sinB,cosA≠cosB,tanA≠tanB.rldmm89898891、在Rt△ABC中,∠C=90°,,求∠A、∠B的度数.21,7ACBCBAC721rldmm89898892、求适合下列各式的锐角α3(1)3tan01sin2(2)1212cos(3)的值。求为锐角),(、已知tan032cos3rldmm8989889ABCD4、如图,△ABC中,∠C=900,BD平分∠ABC,BC=12,BD=,求∠A的度数及AD的长.38rldmm8989889小结:我们学习了30°,45°,60°这几类特殊角的三角函数值.28.1锐角三角函数(4)rldmm8989889,42tantan20EBDCDCACADCm,解:由已知得DABE1.6m20m42°C引例升国旗时,小明站在操场上离国旗20m处行注目礼。当国旗升至顶端时,小明看国旗视线的仰角为42°(如图所示),若小明双眼离地面1.60m,你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗?,42tanDCAC.6.142tan20CBACAB这里的tan42°是多少呢?rldmm8989889前面我们学习了特殊角30°45°60°的三角函数值,一些非特殊角(如17°56°89°等)的三角函数值又怎么求呢?这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务.rldmm89898891、用科学计算器求一般锐角的三角函数值:(1)我们要用到科学计算器中的键:sincostan(2)按键顺序◆如果锐角恰是整数度数时,以“求sin18°”为例,按键顺序如下:按键顺序显示结果sin18°sin18sin180.309016994∴sin18°=0.309016994≈0.31rldmm89898891、用科学计算器求一般锐角的三角函数值:◆如果锐角的度数是度、分形式时,以“求tan30°36′”为例,按键顺序如下:方法一:按键顺序显示结果tan30°36′tan3036tan30°36′0.591398351∴tan30°36′=0.591398351≈0.59方法二:先转化,30°36′=30.6°,后仿照sin18°的求法。◆如果锐角的度数是度、分、秒形式时,依照上面的方法一求解。rldmm8989889(3)完成引例中的求解:tan2042+1.619.60808089∴AB=19.60808089≈19.61m即旗杆的高度是19.61m.6.142tan20ABrldmm8989889练习:使用计算器求下列锐角的三角函数值.(精确到0.01)(1)sin20°,cos70°;sin35°,cos55°;sin15°32′,cos74°28′;(2)tan3°8′,tan80°25′43″;(3)sin15°+cos61°tan76°.rldmm8989889按键的顺序显示结果SHIFT20917.301507834sin·7=已知三角函数值求角度,要用到sin,Cos,tan的第二功能键“sin-1C
本文标题:人教版锐角三角函数
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