连续介质力学第三讲

7.本构关系本构理论研究应力张量与物体运动历史的关系,主要是应力与应变之间的关系,本构关系必须满足一定的原理.1.坐标不变性原理:任何一个物理过程与所选的坐标系没有关系,如果用张量的抽象记法描述本构关系,则坐标不变性自然满足.2.应力确定性原理:物体的应力只取决于它过去的全部变形历史,而与将来的运动变形无关.3.局部作用原理:某点的应力只与该点无限小邻域的运动状态有关。注意:非局部理论是当前固体力学的研究热点之一!4.本构的客观性原理:Cauchy应力是客观张量.本构理论的客观性原理1.等价运动xx~和表示同一物体的两个不同的运动,它们从时刻t0从同一参考构形出发),(txXx),(~~txXx),()()()()(~tttttXxxxQbQbxx~设与两个运动存在以下关系：)(tQ)(tb其中为任意正交张量，为任意矢量，)(tQ)(tb与只随时间t而变化xx~我们称与为等价运动2.标量（场）的客观性t),(tfX)(~t),(~tfX),(),(~tftfXXxx~设与为任意两个等价的运动,设有某物理量（例如温度）中为，在构形中为若对于任意X与t，有:则称为f为客观标量。为标量，它在构形3.矢量（场）的客观性xx~设与为任意两个等价的运动,设有某物理量（例如力）为矢量，它在构形)(~t中为，在构形中为),(tXut),(~tXu它们之间满足关系式),()(),(~tXttuQXu,则该矢量为客观矢量4.张量（场）的客观性xx~设与为任意两个等价的运动,设有某物理量（例如应力)为二阶张量，它在构形)(~t中为，在构形中为),(tXCt),(~tXC它们之间满足关系式:则该张量为客观张量.)(),()(),(~ttttTQXCQXCnσ是客观矢量;两点矢径之差是客观的;例:),()(),()()(d~d~tttxtttxXvQXQbv不是客观的。nσn均为客观矢量;στCauchy应力，Kirchhoff应力是客观张量。5.本构的客观性原理(,)((,),)tttXfFX客观性原理又称标架无差异原理（frameindifferenceprinciple），它最简单的表述是：Cauchy应力是客观张量对运动与运动，Cauchy应力分别为xx~(,)((,),)ttXfFX(,)((,),)ttXfFXT(,)()(,)()ttttXQXQT((,),)()((,),)()ttttfFXQfFXQ又:所以:根据客观性原理则有:(,)(,),tFXUX(,)()(,),tFXQFX对于等价运动有:(,)(,)(,),tFXRXUX利用极分解有:T()(,),ttQRX选取ttfttfT,,,,,,XRXFXRXU这就是客观性原理所要求材料泛函((,),)tfFX应满足的条件ttfttT,,,,,XRXUXRXσ相应地有:(,)tX(,),tUX((,),)tfUX处t时刻的Cauchy应力变形过程，求出t时刻的应力然后令这个应力从t时刻的Lagrange标架旋转到t时刻的Eule标架。(,),tFX欲求任何一个运动的变形梯度x,所引起在X质点，可以先让X质点处只发生纯物理意义:四、各向同性弹性材料Strainenergydensity3Dcase-WorkconjugateBalanceoflinearmomentumWithLagrangedescriptionPrincipleofvirtualdisplacementTisthefirstP-Kstresstensor.soAndwehave：soWorkconjugate!Here,TisthefirstP-Kstresstensor.SisthesecondP-Kstresstensor.Aswehave:So:033022011ggggggF