连续信号的采样重构与仿真

郑州航空工业管理学院《电子信息系统仿真》课程设计2013级电子信息工程专业1313084班级题目连续信号的采样重构仿真姓名洪*学号1313084指导教师王**二О一五年十二月十日一、MATLAB软件简介MATLAB（矩阵实验室）是MATrixLABoratory的缩写，是一款由美国TheMathWorks公司出品的商业数学软件。MATLAB是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。除了矩阵运算、绘制函数/数据图像等常用功能外，MATLAB还可以用来创建用户界面及与调用其它语言（包括C，C++和FORTRAN）编写的程序。二理论分析原理描述2.1连续时间信号连续信号是指自变量的取值范围是连续的，且对于一切自变量的取值，除了有若干个不连续点以外，信号都有确定的值与之对应。严格来说，MATLAB并不能处理连续信号，而是用等时间间隔点的样值来近似表示连续信号。当取样时间间隔足够小时，这些离散的样值就能较好地近似连续信号。在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值来表示，并且可以用这些样本值把信号完全恢复过来。这样，抽样定理为连续时间信号与离散时间信号的相互转换提供了理论依据。通过观察采样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱，在时域是否也能恢复原信号时，利用频域时域的对称关系，得到了信号。本课程设计采用)(tSa作为连续时间信号进行抽样与重构，由于函数)(tSa不是严格的带限信号，其带宽m可根据一定的精度要求做一近似。2.2连续信号的采样定理模拟信号经过(A/D)变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率fs，重复出现一次。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。时域采样定理从采样信号恢复原信号必需满足两个条件：(1)必须是带限信号，其频谱函数在＞各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号才能适用采样定理。）(2)取样频率不能过低，必须＞2（或＞2）。（对取样频率的要求，即取样频率要足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号。）如果采样频率大于或等于，即（为连续信号的有限频谱），则采样离散信号能无失真地恢复到原来的连续信号。一个频谱在区间（-，）以外为零的频带有限信号，可唯一地由其在均匀间隔（＜）上的样点值所确定。根据时域与频域的对称性，可以由时域采样定理直接推出频域采样定理。一个时间受限信号tf，它集中在（mm,）的时间范围内，则该信号的频谱jF在频域中以间隔为1的冲激序列进行采样，采样后的频谱)(1jF可以惟一表示原信号的条件为重复周期mtT21，或频域间隔mtf2121（其中112T）。采样信号的频谱是原信号频谱的周期性重复，它每隔重复出现一次。当s＞2时，不会出现混叠现象，原信号的频谱的形状不会发生变化，从而能从采样信号中恢复原信号。（注：s＞2的含义是：采样频率大于等于信号最高频率的2倍；这里的“不混叠”意味着信号频谱没有被破坏，也就为后面恢复原信号提供了可能）。图1等抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）图2高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）图3低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）2.3信号抽样如图4所示，给出了信号采样原理图由图4可见)()()(ttftfsTs，其中，冲激采样信号)(tsT的表达式为：nsTnTtts)()(其傅立叶变换为nssn)(，其中ssT2。设)(jF，)(jFs分别为)(tf，)(tfs的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得nssnsssnjFTnjFjF)]([1)(*)(21)(若设)(tf是带限信号，带宽为m，)(tf经过采样后的频谱)(jFs就是将)(jF在频率轴上搬移至,,,,,02nsss处（幅度为原频谱的sT1倍）。因此，当ms2时，频谱不发生混叠；而当ms2时，频谱发生混叠。一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列)(tT的幅值调制器，即理想采样器的输出信号)(*te，是连续输入信号)(te调制在载波)(tT上的结果，如图5所示。图5用数学表达式描述上述调制过程，则有)()()(*tteteT理想单位脉冲序列)(tT可以表示为0)()(nTnTtt其中)(nTt是出现在时刻nTt，强度为1的单位脉冲。由于)(te的数值仅在采样瞬时才有意义，同时，假设00)(tte所以)(*te又可表示为*0()()()netenTtnT2.4信号重构设信号)(tf被采样后形成的采样信号为)(tfs，信号的重构是指由)(tfs经过内插处理后，恢复出原来信号)(tf的过程。又称为信号恢复。若设)(tf是带限信号，带宽为m，经采样后的频谱为)(jFs。设采样频率ms2，则由式（9）知)(jFs是以s为周期的谱线。现选取一个频率特性ccsTjH0)(（其中截止频率c满足2scm）的理想低通滤波器与)(jFs相乘，得到的频谱即为原信号的频谱)(jF。显然，)()()(jHjFjFs，与之对应的时域表达式为)(*)()(tfthtfs（10）而nssnssnTtnTfnTttftf)()()()()()()]([)(1tSaTjHFthccs将)(th及)(tfs代入式（10）得nscscsccssnTtSanTfTtSaTtftf)]([)()(*)()(（11）式（11）即为用)(snTf求解)(tf的表达式，是利用MATLAB实现信号重构的基本关系式，抽样函数)(tSac在此起着内插函数的作用。例：设tttSatfsin)()(，其)(jF为：101)(jF即)(tf的带宽为1m，为了由)(tf的采样信号)(tfs不失真地重构)(tf，由时域采样定理知采样间隔msT，取7.0sT（过采样）。利用MATLAB的抽样函数tttSinc)sin()(来表示)(tSa，有)/()(tSinctSa。据此可知：nscscsccssnTtSincnTfTtSaTtftf)]([)()(*)()(通过以上分析，得到如下的时域采样定理：一个带宽为wm的带限信号f(t)，可唯一地由它的均匀取样信号fs(nTs)确定，其中，取样间隔Tsπ/wm,该取样间隔又称为奈奎斯特间隔。根据时域卷积定理，求出信号重构的数学表达式为：式中的抽样函数Sa(wct)起着内插函数的作用，信号的恢复可以视为将抽样函数进行不同时刻移位后加权求和的结果，其加权的权值为采样信号在相应时刻的定义值。利用MATLAB中的抽样函数来表示Sa(t)，有，，于是，信号重构的内插公式也可表示为：3MATLAB仿真实现本课程设计通过MATLAB软件产生一个连续时间信号)(tSa并生成其频谱，然后对该信号三种不同情况的抽样，并对采样后的频谱进行分析，最后通过设计低通滤波器滤出抽样所得频谱中多个周期中的一个周期频谱，并显示恢复后的时域连续信号。由于原连续信号)(tSa的频谱无法实现真正的连续，所以通过扩大采样点的数目来代替，理论上当采样点数无穷多的时候即可实现连续，基于此尽可能增加采样点数并以此来产生连续信号的频谱。在信号采样过程中，通过采样点的不同控制采样频率实现大于或小于或等于二倍最高连续信号的频率，从而可以很好的验证采样定理。信号重构时，滤波器的参数需要很好的设置以实现将抽样后的信号进行滤波恢复原连续信号。鉴于条件有限，此次课程设计我们只对过抽样情况实现重构。本节设计过程严格根据以下三种情况用MATLAB实现采样信号及重构进行分析详述。（1）)(tSa的临界采样：,1m，mc，mispT/；（2）)(tSa的过采样及重构：1m，mc1.1，mispT/5.0；（3）)(tSa的欠采样：1m，mc，mispT/2。3.1设计连续信号sa(t)先设计一个程序，使之产生一个连续信号)(tSa。程序如下：t=-20:0.5:20;f=sinc(t/pi);plot(t,f);xlabel('t');ylabel('x(t)');title('时域连续信号sa(t)=sinc(t/pi)波形');grid;产生的图形如图6.图六3.2设计连续信号sa(t)的频谱再设计一个频谱程序，使其产生连续信号)(tSa的频谱波形图。程序如下：t=-20:0.5:20;f=sinc(t/pi);N=1000;k=-N:N;w1=10;w=k*w1/N;F=f*exp(-j*t'*w)*0.5;plot(w,F);xlabel('x');ylabel('x(w)');title('sa(t)=sinc(t/pi)信号的频谱图');产生的图形如图7.图七3.3设计连续信号sa(t)的采样与信号重构1临界抽样情况当采样频率等于一个连续的同信号最大频率的2倍，即ms2时，称为临界采样，此时设置,1m，mc，mispT/。设计一个程序完成Sa信号的抽样以及重构信号与误差信号的变化。程序如下：wm=1;%升余弦脉冲信号带宽wc=wm;%频率Ts=pi/wm;%周期ws=2*pi/Ts;%理想低通截止频率n=-100:100;%定义序列的长度是201nTs=n*Ts%采样点f=sinc(nTs/pi);%抽样信号Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));%信号重建t1=-20:0.5:20;f1=sinc(t1/pi);subplot(211);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号');subplot(212);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号重构sa(t)');grid;产生的图形如图8.图8分析：为了比较由采样信号恢复后的信号与原信号的误差，可以计算出两信号的绝对误差。当t选取的数据越大，起止的宽度越大。2过抽样情况当采样频率大于一个连续的同信号最大频率的2倍，即ms2时，称为过采样。此时，设置1m，mc1.1，mispT/5.0。设计一个程序完成Sa信号的抽样，并观察在不同采样频率的条件下对应采样信号的时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。程序如下：wm=1;wc=1.1wm;Ts=0.5*pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Tsf=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-10:Dt:10;fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));error=abs(fa-sinc(t/pi));t1=-10:0.5:10;f1=sinc(t1/pi);m=-20:20;N=41;%设采样点的N值Xw=abs(fft(f,N));subplot(2,2,1);plot(m,Xw);axis([-20201.1*min(Xw)1.1*max(Xw)]);%可用axis函数来调整图轴的范围xlabel('w');ylabel('|Xw|');title('抽样后频谱波形图');subplot(2,2,2);s