集合与简易逻辑知识点

集合、简易逻辑知识梳理：1、集合：某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。元素与集合的关系：Aa或Aa集合的常用表示法：列举法、描述法。集合元素的特征：确定性、互异性、无序性。常用一些数集及其代号：非负整数集或自然数集N；正整数集*N，整数集Z；有理数集Q；实数集R2、子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记为AB3、真子集：如果AB，并且BA，那么集合A成为集合B的真子集，记为AB，读作“A真包含于B或B真包含A”，如：baa,。注：空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集结论：设集合A中有n个元素，则A的子集个数为n2个，真子集个数为12n个4、补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为ACs，读作“A在S中的补集”，即ACs=AxSxx且,|。5、全集：如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看作一个全集。通常全集记作U。6、交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作BA即：BA=BxAxx且,|。7、并集：一般地，由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作BA即：BA=BxAxx或,|。记住两个常见的结论：BAABA；ABABA；9、命题：可以判断真假的语句叫做命题。（全称命题特称命题）⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“”表示；全称命题p：)(,xpMx；全称命题p的否定p：)(,xpMx。⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“”表示；特称命题p：)(,xpMx；特称命题p的否定p：)(,xpMx；10、“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式：p或q；p且q；非p(记作┑q)。11、“或”、“且”、“非”的真值判断：非p与p真假相反；“p且q”：同真才真，一假即假；“p或q”：同假才假，一真即真12、命题的四种形式与相互关系：•原命题：若P则q；•逆命题：若q则p；•否命题：若┑P则┑q；•逆否命题：若┑q则┑p•原命题与逆否命题互为逆否命题，同真假；•逆命题与否命题互为逆否命题，同真假；13、从逻辑推理关系上看：若qp，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即“前者为后者的充分，后者为前者的必要”。若qp，则p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件。若qp，且qp，那么称p是q的充分不必要条件。若pq，且qp，那么称p是q的必要不充分条件。若pq，且qp，那么称p是q的既不充分又不必要条件。从集合与集合之间的关系上看：条件p、q对应集合分别为A、B，则若BA，则p是q的充分条件，若BA，则p是q的充分非必要条件若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要非充分条件若A=B，则p是q的充要条件若ABBA且，则p是q的非充分必要条件9.充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若BA，则A是B原命题,pq若则逆命题,qp若则逆否命题,qp若非则非否命题,pq若非则非互为逆命题互为逆命题互为逆否命题互为否命题互为否命题的充分条件；若BA，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。如（1）给出下列命题：①实数0a是直线12yax与322yax平行的充要条件；②若0,,abRba是baba成立的充要条件；③已知Ryx,，“若0xy，则0x或0y”的逆否命题是“若0x或0y则0xy”；④“若a和b都是偶数，则ba是偶数”的否命题是假命题。其中正确命题的序号是_______（答：①④）；（2）设命题p：|43|1x；命题q:0)1()12(2aaxax。若┐p是┐q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是（答：1[0,]2）10.一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为axb的形式，若0a,则bxa；若0a,则bxa；若0a,则当0b时，xR；当0b时，x。如已知关于x的不等式0)32()(baxba的解集为)31,(，则关于x的不等式0)2()3(abxba的解集为_______（答：{|3}xx）11.一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当0和0时的解集你会正确表示吗？设0a,12,xx是方程20axbxc的两实根，且12xx，则其解集如下表：20axbxc20axbxc20axbxc20axbxc01{|xxx或2}xx1{|xxx或2}xx12{|}xxxx12{|}xxxx0{|}2bxxaR{|}2bxxa0RR如解关于x的不等式：01)1(2xaax。（答：当0a时，1x；当0a时，1x或1xa；当01a时，11xa；当1a时，x；当1a时，11xa）12.对于方程02cbxax有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为0，其次若0a，则一定有042acb。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（1）222210axax对一切Rx恒成立，则a的取值范围是_______（答：(1,2]）；（2）关于x的方程()fxk有解的条件是什么？(答：kD，其中D为()fx的值域)，特别地，若在[0,]2内有两个不等的实根满足等式cos23sin21xxk，则实数k的范围是_______.（答：[0,1)）13.一元二次方程根的分布理论。方程2()0(0)fxaxbxca在),(k上有两根、在(,)mn上有两根、在),(k和),(k上各有一根的充要条件分别是什么？0()0()02fmfnbman、()0fk）。根的分布理论成立的前提是（0()02fkbka、开区间，若在闭区间],[nm讨论方程0)(xf有实数解的情况，可先利用在开区间),(nm上实根分布的情况，得出结果，再令nx和mx检查端点的情况．如实系数方程220xaxb的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则12ab的取值范围是_________（答：（41，1））14.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程20axbxc的两个根y(a0)Okx1x2x即为二次不等式20(0)axbxc的解集的端点值，也是二次函数2yaxbxc的图象与x轴的交点的横坐标。如（1）不等式32xax的解集是(4,)b，则a=__________（答：18）；（2）若关于x的不等式02cbxax的解集为),(),(nm，其中0nm，则关于x的不等式02abxcx的解集为________（答：),1()1,(nm）；（3）不等式23210xbx对[1,2]x恒成立，则实数b的取值范围是_______（答：）。不等式17.解不等式：|4x-3|2x+1.18.解不等式：|x-3|-|x+1|1.19.解不等式：224132xxxx≥.20.已知方程2(k+1)2x+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.题型1.集合1.1集合本身运算如（子集个数真子集个数，互异性等）1.2集合间的运算如(交集，并集，补集，)1,3集合内的运算（一次二次函数分式根式绝对值等）2.简易逻辑2.1几种命题1.1逆命题，逆否命题，否命题：