递推法证明不等式

顺藤摸瓜，顺水推舟——递推法证明数列不等式众所周知，证明不等式的方法多种多样，技巧层出不穷，今天笔者试图给出一个较为巧妙的好方法——递推法，此法在证明一些较为复杂的代数不等式时显得特别有效，请看例1.（2012年第11届中国女子竞赛）设n为正整数，12,,,naaa为非负数，求证;123111211212312111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)nnaaaaaaaaaaaaaaaa.证明：因为1111aaa，所以123i112i123i112i-1i123i1i12i-1i123i1123i1i12i-112i(1)(1)(1)1=(1)(1)(1)1=-(1)(1)(1)(1)=(1)(1)(1)(1)(1)(1aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa（1）-1i)(1)a所以1231112112123121231211(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)=11(1)(1)(1)nnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa即结论获得证明。例2.（2006中国数学奥林匹克）实数列na满足：kkkaaaa21,2111),3,2,1(k证明：)11()11)(11(1)(2212121nnnnnaaanaaaaaan分析：从题目要证的结构看出，首先需要证明，对任意的)3,2,1)(1,0(kak，于是要分析函数)21,0(,21)(xxxxf的性质，是否是单调的？其次，需要构造一个函数11)(xxg，搞清楚这个函数的性质，是否是满足函数不等式的？证明一：分两步进行第一步：先证明，210na.构造函数]21,0[,221221)(xxxxxxf，因为]21,0[)(xxf在是单调下降的（这个很容易确定），而061)21(,21)0(ff，于是，0)21()(1fafann，21)0()(1fafann，所以，210na.第二步：再证明原题，原不等式等价于)11()11)(11(1)(2212121nnnnnaaaaaanaaan设11)(xxg，对]21,0(,21xx，容易得道22121121111xxxx于是，由数学归纳法知：nnnxxxnxxx11111112121（*）到此，还没有用到条件（递推式），应该考虑题目条件了，所以另一方面，根据题设以及Cauchy不等式得到)12(22)(1)1(1121112112111niiniiniinniiiniiiniiannnannaaannaannaaa所以，)12()1(11niiniianna，对上式两部同除以niia1，得到)12()1(1111niiniiniiniiananaa，所以，nnnnaaanaaan21211)(2)*()11()11)(11()1()1()1()1(21212111）注意到（nnnnnninninaaaaaaaaaaa从而原题得证.评注：本题的证明过程主要在于抓住要证结论的结构特征，从而可以从构造函数入手，这是解决本题的关键所在.证明二：首先用数学归纳法证明3,2,1,210nan当时1n命题成立。假设命题对即有成立,)1(nn.210na假设221221)(xxxxxf,)(,21,0是减函数则xfx（令),1,2,212的减函数是又的增函数是则xuuuuuxu于是成立即命题对1,61)21()(,21)0()(11nfafafafannnn由数学归纳法3,2,1,210nan原命题等价于：（)11()11.(1(2)12121nnnnnaaaaanaaan设11()ln(1),(0,)2fxxx，则()fx为1(0,)2中的下凸函数，对于121212()()10,,()222xxfxfxxxf事实上，0)()11)(11()12(2)()()2(221212212121xxxxxxxfxfxxf所以，Jensen不等式可得：1212()()()()nnxxxfxfxfxfnn即12312111(1)(1)(1)(1)nnnnaaaaaaa另一方面，由题设及Canchy不等式知道2111112211111111(1)()(1)222(1)(1)2nniniiiiiiinnnniiiiiininkiinannaaaannnnnnaaaaanana所以1111(1)(1)2niinnniiiiiiannaaa，即12121212312312(1)(1)(1)()12(1111(1)(1)(1)nnnnnnnnnnaaannaaaaaaaaaanaaaaaaa评注：在此题中命题人巧妙的将数列、数学归纳法、琴生不等式、柯西不等式、对勾函数等深刻、朴素的数学思想方法和重要的数学知识“生长点”自然有机的融合成一个协调的整体，犹如一位音乐大师指挥一支著名的管弦乐队，体现了数学创造力的本质应是一种卓越的数学结构组织能力。解此题的关键是：在对不等式结构调整后，第一步的放缩中猜测使用琴生不等式，将第一步放缩做的恰到好处。要想到这一步必需深刻理解琴生不等式的理论及应用价值：它是微积分研究曲线凹凸性的直接产物，是许多著名不等式之“根”，是许多著名不等式之“友”，也是证明诸多不等式问题的“有力武器”。这一步体现了对数学的深刻理解和良好的数学审美直觉猜测能力，用美学标准来鉴别和选择数学直觉，数学美的本质应是深刻——“满腹经纶”、简单——“低调随和”、包容——“乐于助人”。例3证明：Nma),0(，.111253242mmaaaaaaamm分析:对m用数学归纳法。当1m时，212aa，故不等式成立。设当km时不等式成立，即)(kf.1112322kkaaaaakk我们的目标是证明：..12.1)1(123222kkaaaaakfkk)(kf和)1(kf的分母不一样，怎么把它们联系起来呢？一个自然的想法是取)(kf的倒数，然后尝试证明：2.)(1)1(kfkf。因为),()1(kfkf所以上式实为不等式2)(1)(kfkf的加强。证明（1）当1m时左边=,2212aaaa右边=2所以不等式成立。（2）假设当km时，原不等式成立，即有.111253242kkaaaaaaakk令)(kf1232421kkaaaaaa)1(2)2(211kkaaa则kkkf1)(当1km时1)1(23)1(2421)1(kkaaaaaakf而)1(1)(2)1(2kkaaakf所以)1(22)1(2)2(21)1(11)(1)1(kkkkaaaaaakfkf)1(222)2(21)1(1kkkaaaaa)1(2)1(222)1(211kkkaaaaaa)1(22)1(221)1()1(kkaaaaa)1(2)1(221)1)(1(kkaaaa22.12aaaa所以2.)(1)1(kfkf即)(12)1(kfkf12112kkkk11)1(12kkkk故当1km时，原不等式成立。综合（1）与（2）便知，原不等式成立。评注1：此题解决的关键是由式子2)(1)(kfkf结合题目分析构造式子)(1)1(kfkf，在直觉猜测的基础上证明该式大于2（因为当k时)1(kf充分接近)(kf，实际上，应有)()1(kfkf），进而为顺利实施归纳过渡做出了很好的铺垫，这一切需要有敏锐的代数直觉猜测力和构造能力。评注2:在例3证明结论中令0xa，则可等价变形出如下结论：mmxxxxxxxxxmm1))(1()1)(1(1253242))(1()1(22122mmxxxmxxxm两边同时减去)(22mxxxm，有,)1(2212mmxxxxm于上式中再令12mn，Nm可得)1)(1()(212nnxnxxx即)1)(1()1(2nnxnxx而此式即为2015年高考陕西理科压轴题第)(小题的实质部分：设)(xfn是等比数列nxxx,,,,12的各项和，其中.2,,0nNnx)(证明：函数2)()(xfxFnn在)1,21(内有且仅有一个零点（记为),nx且;21211nnnxx)(设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，各项和为),(xgn比较)(xfn与)(xgn的大小，并加以证明。关于这一点，读者简单演算便知，限于篇幅，不再赘述。数学归纳法的实质即是递推法，递推法堪称数列不等式的“御用保镖”。参考文献：1王向东，苏化明，王方汉。不等式的理论与方法（基础卷）M。哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2015.2历届中国数学奥林匹克试题集M.。哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2014.