赋值法的应用1

赋值法的应用摘要：赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的．实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，本文将通过几道数学题分别赋值法在解各类数学题中的应用。关键词：赋值法导学功能抽象一赋值法的概念。在解数学题时，人们一般运用逻辑推理方法，一步一步的寻求必要条件，最后求得结论。但对于有些问题如果我们能根据具体情况，巧妙的，合理的对某些元素进行赋值，这样往往能找到简捷的解决问题的方法，这就是赋值法。这种方法贯穿于整个数学学习的历程中，对于解各个阶段的数学题都有巨大的作用。二赋值法在代数式中的应用。2.1如果题目中关于某个未知数的等式对于任意值或者很多值成立，则可以运用赋值法为解题创造条件。例1对于一切x,分式axbx117总为定值，则ab=？解析根据题意，分式axbx117总为定值，不妨设x为0，1分式的值都为定值，则有abab1111701107即abab117。abaabb711ab711117ab例2已知71x=a0+a1x+a22x+a33x+7a7x.则1a+3a+5a7a的值为多少。解析：因为对于一切x，题目中的等式都成立，所以可以在已知等式中令1x和1x，分别得0a+1a+2a+7a=0，①0a-1a+2a--7a=72。②由①-②得2（7531aaaa）=-72，所以有647531aaaa三赋值法在函数中的应用。3.1赋值法在解抽象函数问题中的应用.例6（2006重庆高考）已知定义域为R的函数xf满足xxxfxxxff22（1）若32f，求1f；又若af0，求af；（2）设有且仅有一个实数0x，使得00xxf，求函数xf的解析表达式.解：（1）取2x，又32f得22222222fff，即11f.又af0，故00000022fff，即aaf（2）又满足00xxf的实数0x唯一，由xxxfxxxff22.可知，对任意Rx有02xxxxf.在上式中令0xx有00200xxxxf.再代00xxf得00x或10x.若00x，方程xxf有两个根，故0x.若x0=1则有1)(2xxxf易验证，该函数满足题设条件。3．2赋值法在判定函数奇偶性和单调性中的应用。对于解函数问题，赋值法同样有着重要的应用，首先我们来看一道判定抽象函数单调性的问题。例3已知yxf+yxf=2xfyf,对于一切实数x，y都成立，且00f求证xf为偶函数。分析：由题设可知x、y为任意实数，可令x=0，得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y），再令y=0，得2f（0）=2f2（0），得f（0）=1；代入f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）得f（-y）=f（y），从而判断出f（x）为偶函数。证明：令x=0，则已知等式变为f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）…①在①中令y=0，则2f（0）=2f2（0）∵f（0）≠0∴f（0）=1∴f（y）+f（-y）=2f（y）∴f（-y）=f（y）∴f（x）为偶函数.例4：已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且f（xy）=f（x）+f（y）。（1）求f（1）；（2）证明f（x）在定义域上是增函数。分析：求f（1）的值需要在等式f（xy）=f（x）+f（y）中构造出含有f（1）的等式，只需令x=y=1即可；判断抽象函数的单调性的基本方法是定义法，其关键是根据所给条件判断21xfxf的符号，多数情况下需要设法构造出21xx或21xx的因式。解：（1）令x=y=1，得f（1）=0。（2）设1x＞2x＞0，则21xx1021xxf在等式f（xy）=f（x）+f（y）中令xy1得011xfxffxfxf101211212xfxfxfxfxxf即21xfxf所以，xf在定义域,0上是增函数。例7已知函数)(xf的定义域在R上，对于任意x，yR有)()(2)()(yfxfyxfyxf，且0)0(f.(1)求证1)0(f：(2)求证)(xfy是偶函数：(3)若存在常数C使得0)2(Cf，求证：对于任意Rx有)()(xfcxf，且)(xfy是周期函数。分析：显然，此题是一个解抽象函数问题，对于此类问题，已知条件不多，无法得出具体函数关系式，只能通过对未知数赋值得到一些函数特殊点的值或者函数关系。现在看一下解题过程。解：（1）要证明1)0(f我们必须先构造出)0(f，对于已知式，我们令0yx，所以有2)0()0()0(fff，又因为0)0(f，所以1)0(f。（2）要证明此函数是偶函数，我们需要得到关系式)()(xfxf，这样我们令xyx,0，则有)()0(2)()(xffxfxf，所以)()(xfxf，所以)(xfy是偶函数。（3）我们令2,2CyCxx，则)2()2(2)()(CfCxfxfCxf，所以)()(xfcxf得证。由以上得)2()()(CxfCxfxf，所以)(xfy是以2C为周期的周期函数。由上述两个例题，我们来看一下如何运用赋值法来解抽象函数：一般来说，赋值法解题就是要通过赋值找到已知与未知的联系，再通过已知得到未知的结果，具体到每道题中，就需要大家仔细分析，大胆赋值，很多时候都是需要用到0和1这两个特殊数字，这点需要尤其注意一下，而要求抽象函数奇偶性的时候，就常常用到-1和x，而对于求关于抽象函数周期性的时候就需要根据题设条件赋值了，总的来说，赋值法对于解抽象函数问题十分合适，应用极广。四赋值法在几何中的应用。2．3赋值法在处理特殊与一般关系题型中的应用例5：过点M（p，0）任作一条直线交抛物线2y=2px（p＞0）于P、Q两点，则2211MQMP的值为（）。A.241PB.221PC.22PD.21P分析：从题设条件中可知过点M（p，0）的直线具有任意性，直接解题非常繁琐，而从选择支中知道结论具有唯一确定性，因此可用特殊代一般赋予条件以特殊值来求解，就会很简单。解：取过点M（p，0）与x轴垂直的直线x=p，则P（p，p2），Q（p，p2），∴222221212111pppMQMP，故选D.2.4赋值法在有关二项式中求“系数和”中的应用例5：已知44332210221xaxaxaxaaxx，则4321aaaa的值为多少？分析：从已知条件中可知，等式左侧不是二项式，右侧按x的升幂排列，不能从二项式定理入手，但就等式本身而言，x是同一值，欲求4321aaaa，从右侧可知，当x=1时，可得0a+4321aaaa，再去掉0a，这时再令x=0就可得出。解：令x=0，得10a，令x=1，得0a+4321aaaa=1∴4321aaaa=0.五赋值法在分解因式中的应用。因式分解是多项式进行恒等变形的一种方法.显然,多项式和它分解后的结果,不管字母同时取什么值,都应该相等的.利用这一点,可将一些比较难分解的多项式采用赋值法进行分解,则会简单得多。首先我们来看首项系数为1的多项式。例6：分解因式:611623xxx.解当x=10时,611623xxx=1716,但常数项是6,故分解结果中各项常数项之积也应是6.∴1716=11×12×13=(10+1)(10+2)(10+3).现把上式中10用x回代,得:611623xxx=321xxx.现在我们来看首项系数不为1的多项式。例7：分解因式:235623xxx.解取x=10,代入多项式,得:235623xxx=22×72×3×11.考虑到首项系数是6=1×2×3,所以分解方案应写成(10±a)(20±b)(30±c)的形式,再注意到常数项-2=1×1×(-2),所以22×72×3×11=21×11×28=(20+1)(10+1)(30-2),再把10回代为x,得:原式=23112xxx.综上可知,赋值法分解因式的一般步骤是:(1)将多项式中的字母赋一个具体的值(一般取10);(2)算出赋值后多项式的值;(3)把上步算得的结果适当地分解因数,注意各个括号中的后一项(分解结果中各个括号里的常数项)之积要等于原多项式中的常数项;(4)把上一步分解因数的结果“赋值”回代为字母,得到问题的答案;(5)检验.2.7赋值法在恒成立问题中的应用。例8是否存在实数a,b,c使得函数cbxaxxf2)(对于任意实数a均满足下列条件：（1）2)(sinaf：（2）2)cos2(af：（3）cf)4(，若存在，找出一组数a,b,c：若不存在，说明理由。分析：若直接把asin,acos2,4代入原函数化简，方程个数较多，自变量形式复杂，给解题带来一定难度，注意到题目中对于一切实数均能使等式成立，不妨用赋值为突破口。解：在（1）中令1sina，则有2)1(f，在（2）中令1cosa，则有2)1(f，2)1(f，即2cba；由cf)4(，得04ba，在（2）中令1cosa，可得2)3(f化简得04ba，可得ab4，从而得23ac，axaaaxaxxf2)2(234)(22。在（2）中令0cosa，有22)2(af，0a，于是当0a时，上式表示开口向上，对称轴2x为抛物线，此时取1a，此时4b，5c，所得抛物线符合题意。由上述例子可以看出，赋值法通过巧妙赋值，使问题数值化，直观化，简单化，特殊化，从而使问题得以很好的解决。赋值法在解题中具有广泛的应用和独特的价值。三赋值法的导学作用3.1赋值法也叫特殊值法,是用特殊化的思想探析数学问题的一种快速、有效的解题方法,具有省时、准确、把复杂问题简单化的特点,这尤其体现在选择题和填空题的解答中.由于普遍性寓于特殊性之中,因而问题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊状态的结论为真,这就是赋值法解题的理论依据。因而,重视赋值法解题的作用有助于培养学生的解题能力，因而赋值法具有导学功能，它能促进学生思维变通以及灵活运用知识的能力。3.2赋值法能够化繁为简，可以使很多抽象的问题直观化，可以通过赋值解决一些复杂的数学问题。四结论赋值法是一种巧妙的解题方法，它对于中小学数学解题有极其重要的作用，作为新一代教师在教学中要强调数学解题方法的传授，当然赋值法应用极广，本文也只是仅仅指出了赋值法的部分应用，本文只算抛砖引玉，其中有很多不足的地方望读者海涵。参考文献：[1]陈传理，张同君，竞赛数学教程【M】，北京：北京师范大学出版社，2005.[2]王兴旺，高考完全解读数学【M】，北京：中国青年出版社，2007[3]中学生数理化（高中版）杂志编辑部，河南：河南教育报刊社，2006.[4]李勇，数学学习与研究（教研版），2010年第14期。[5]赵春祥，数理化学习（高中版），2003年第1期。[6][7][8][9]晓岚，初中生必读，2009年第12期[10]王彦青，张磊，中学生数理化（高中版），2006年第11期