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基础巩固强化一、选择题1.已知α、β、γ是不重合平面,a、b是不重合的直线,下列说法正确的是()A.“若a∥b,a⊥α,则b⊥α”是随机事件B.“若a∥b,a⊂α,则b∥α”是必然事件C.“若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β”是必然事件D.“若a⊥α,a∩b=P,则b⊥α”是不可能事件[答案]D[解析]a∥ba⊥α⇒b⊥α,故A错;a∥ba⊂α⇒b∥α或b⊂α,故B错;当α⊥γ,β⊥γ时,α与β可能平行,也可能相交(包括垂直),故C错;如果两条直线垂直于同一个平面,则此二直线必平行,故D为真命题.2.(文)4张卡片上分别写有数字1、2、3、4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A.13B.12C.23D.34[答案]C[解析]取出两张卡片的基本事件构成集合Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}共6个基本事件.其中数字之和为奇数包含(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)共4个基本事件,∴所求概率为P=46=23.(理)(2013·宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子,其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6,将这颗骰子连续抛掷三次,观察向上的点数,则三次点数依次构成等差数列的概率为()A.112B.118C.136D.7108[答案]A[解析]连续抛掷三次共有63=216(种)情况,记三次点数分别为a、b、c,则a+c=2b,所以a+c为偶数,则a、c的奇偶性相同,且a、c允许重复,一旦a、c确定,b也唯一确定,故a,c共有2×32=18(种),所以所求概率为18216=112,故选A.3.(文)(2013·惠州调研)一个袋中装有2个红球和2个白球,现从袋中取出1个球,然后放回袋中再取出1个球,则取出的2个球同色的概率为()A.12B.13C.14D.25[答案]A[解析]P=2×2+2×24×4=12.(理)(2013·皖南八校联考)一个袋子中有5个大小相同的球,其中有3个黑球与2个红球,如果从中任取两个球,则恰好取到两个同色球的概率是()A.15B.310C.25D.12[答案]C[解析]P=C23+C22C25=25.4.(文)(2013·郑州第一次质量预测)一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率,他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆,测得正方形区域有豆5120颗,正方形的内切圆区域有豆4009颗,则他们所测得的圆周率为(保留三位有效数字)()A.3.13B.3.14C.3.15D.3.16[答案]A[解析]根据几何概型的定义有π·1221=40095120,得π≈3.13.(理)点P在边长为1的正方形ABCD内运动,则动点P到定点A的距离|PA|1的概率为()A.14B.12C.π4D.π[答案]C[解析]由题意可知,当动点P位于扇形ABD内时,动点P到定点A的距离|PA|1,根据几何概型可知,动点P到定点A的距离|PA|1的概率为S扇形ABDS正方形ABCD=π4,故选C.5.(文)(2013·石家庄质检)在圆的一条直径上,任取一点作与该直径垂直的弦,则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为()A.14B.13C.12D.32[答案]C[解析]如图,设圆的半径为r,圆心为O,AB为圆的一条直径,CD为垂直于AB的一条弦,垂足为M,若CD为圆内接正三角形的一条边,则O到CD的距离为r2,设EF为与CD平行且到圆心O距离为r2的弦,交直径AB于点N,所以当过AB上的点且垂直于AB的弦的长度超过CD时,该点在线段MN上移动,所以所求概率P=r2r=12,选C.(理)(2013·湖南)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为12,则ADAB=()A.12B.14C.32D.74[答案]D[解析]由题意知ABAD,如图,当点P与E(或F)重合时,△ABP中,AB=BP(或AP),当点P在EF上运动时,总有ABAP,ABBP,由题中事件发生的概率为12知,点P的分界点E、F恰好是边CD的四等分点,由勾股定理可得AB2=AF2=(34AB)2+AD2,解得(ADAB)2=716,即ADAB=74,故选D.6.(2013·武昌区联考)若从区间(0,2)内随机取两个数,则这两个数的比不小于4的概率为()A.18B.78C.14D.34[答案]C[解析]设这两个数分别为x,y,则由条件知0x2,0y2,y≥4x或x≥4y,则所求概率P=2×12×2×122×2=14.二、填空题7.(2013·郑州二检)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,设向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈0,π2的概率是________.[答案]712[解析]∵cosθ=m-n2·m2+n2,θ∈0,π2,∴m≥n,满足条件m=n的概率为636=16,mn的概率与mn的概率相等,∴mn的概率为12×1-16=512,∴满足m≥n的概率为P=16+512=712.8.(文)(2012·浙江文,12)从边长为1的正方形的中心和顶点这五个点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为22的概率是________.[答案]25[解析]由五个点中随机取两点共有10种取法.由图可知两点间的距离为22的是中心和四个顶点组成的4条线段,故概率为P=410=25.(理)在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数,记为m和n,则方程x2m2+y2n2=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________.[答案]12[解析]∵方程x2m2+y2n2=1表示焦点在x轴上的椭圆,∴mn.由题意知,在矩形ABCD内任取一点P(m,n),求P点落在阴影部分的概率,易知直线m=n恰好将矩形平分,∴p=12.9.(文)在区间[-1,1]上随机取一个数k,则直线y=k(x+2)与圆x2+y2=1有公共点的概率为________.[答案]33[解析]∵直线与圆有公共点,∴|2k|k2+1≤1,∴-33≤k≤33.故所求概率为P=33--331--1=33.(理)(2013·大连、沈阳联考)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b,则方程x=22a-2bx有不等实数根的概率为________.[答案]12[解析]方程x=22a-2bx化为x2-22ax+2b=0,∵方程有两个不等实根,∴Δ=8a-8b0,∴ab,如图可知,所求概率P=12.三、解答题10.(文)设平面向量am=(m,1),bn=(2,n),其中m、n∈{1,2,3,4}.(1)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果;(2)记“使得am⊥(am-bn)成立的(m,n)”为事件A,求事件A发生的概率.[解析](1)有序数组(m,n)的所有可能结果为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16个.(2)由am⊥(am-bn)得m2-2m+1-n=0,即n=(m-1)2由于m、n∈{1,2,3,4},故事件A包含的基本事件为(2,1),(3,4),共2个.又基本事件的总数为16,故所求的概率为P(A)=216=18.(理)(2013·北京东城区统一检测)袋内装有6个球,这些球依次被编号为1、2、3、…、6,设编号为n的球重n2-6n+12(单位:g),这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响).(1)从袋中任意取出一个球,求其重量大于其编号的概率;(2)如果不放回地任意取出2个球,求它们重量相等的概率.[解析](1)若编号为n的球的重量大于其编号,则n2-6n+12n,即n2-7n+120.解得n3,或n4.所以n=1,2,5,6.所以从袋中任意取出一个球,其重量大于其编号的概率P=46=23.(2)不放回地任意取出2个球,这两个球编号的所有可能情形为(不分取出的先后次序):1,2;1,3;1,4;1,5;1,6;2,3;2,4;2,5;2,6;3,4;3,5;3,6;4,5;4,6;5,6.共有15种.设编号分别为m与n(m,n∈{1,2,3,4,5,6},且m≠n)的球的重量相等,则有m2-6m+12=n2-6n+12,即有(m-n)(m+n-6)=0.所以m=n(舍去),或m+n=6.满足m+n=6的情形为:1,5;2,4,共2种.故所求事件的概率为215.能力拓展提升一、选择题11.(2013·北京海淀期末)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏,让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行,若卡片按从左到右的顺序排成“1314”,则孩子会得到父母的奖励,那么孩子受到奖励的概率为()A.112B.512C.712D.56[答案]A[解析]先从4个位置中选一个排4,再从剩下位置中选一个排3,所有可能的排法有4×3=12种,满足要求的排法只有1种,∴所求概率为P=112.12.(文)(2012·辽宁文,11)在长为12cm的线段AB上任取一点C,现作一矩形,邻边长分别等于线段AC、CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为()A.16B.13C.23D.45[答案]C[解析]在长为12cm的线段AB上任取一点C,设AC=x,则BC=12-x,∴x(12-x)20,∴2x10,因此总的几何度量为12,满足矩形面积大于20cm2的点在C1与C2之间的部分,如图∴P=812=23.关键在于找出总长度及事件“矩形的面积大于20cm2”所表示区域的长度.(理)(2012·湖北理,8)如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA、OB为直径作两个半圆,在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A.1-2πB.12-1πC.2πD.1π[答案]A[分析]在扇形OAB内随机取一点,此点落在阴影部分的概率属于几何概型问题,关键是求阴影部分的面积,如图设阴影部分两块的面积分别为S1、S2,OA=R,则S1=2(S扇形DOC-S△DOC),S2=S扇形OAB-S⊙D+S1.[解析]设图中阴影面积分别为S1,S2,令OA=R,由图形知,S1=2(S扇ODC-S△ODC)=2[π·R224-12·(R2)2]=πR2-2R28,S2=S扇形OAB-S⊙D+S1=14πR2-π·(R2)2+πR2-2R28=πR2-2R28,∴所求概率P=S1+S2S扇形OAB=πR2-2R2414πR2=1-2π.[点评]1.当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解;2.利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的计算,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.13.在区间(0,1)上任取两个数,则两个数之和小于65的概率是()A.1225B.1625C.1725D.1825[答案]C[解析]设两数为x、y,则0x1,0y1,满足x+y65的点在图中阴影部分,∴所求概率为P=1-12×1-1521=1725,故选C.二、填空题14.(文)(2013·大连模拟)在长为16cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为一边作正方形,则此正方形的面积介于25cm2与81cm2之间的概率为________.[答案]14[解析]正方形的面积介于25cm2与81cm2之间,即线段AM长介于5cm与9cm之间,即点M可以在5~9cm之间取,长度为4cm,总长为16cm,所以,所求概率为416=14.(理)(2013·南昌一模)张先生订了一份《南昌晚报》,送报人在早上6:30—7:30之间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上7:00—8:00之间,则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是________.[答案]78[解析]以横坐标x表示报纸送到时间,以纵坐标y表示张先生离家时间,建立平面直角坐标系,如图.
本文标题:走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学10-5
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