走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学11-2

基础巩固强化一、选择题1．已知i是虚数单位，若a＋i1＋i是实数，则实数a等于()A．－1B．1C.2D．－2[答案]B[解析]∵a＋i1＋i＝a＋i1－i1＋i1－i＝a＋1＋1－ai2∈R，∴a＝1.2．(2013·广东广州检测)已知a1－i＝1＋bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则a＋bi＝()A．1＋2iB．2＋iC．2－iD．1－2i[答案]B[解析]∵a1－i＝a1＋i1－i1＋i＝a＋ai2＝1＋bi，∴a2＝1，a2＝b.∴a＝2，b＝1.∴a＋bi＝2＋i，故选B.3．(文)(2012·长春调研)已知复数z1＝2＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]D[解析]依题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，因此复数z在复平面内对应的点为(3，－1)，位于第四象限，选D.(理)(2012·山西四校联考)已知复数z的实部为－1，虚部为2，则2－iz(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]C[解析]依题意得2－iz＝2－i－1＋2i＝2－i－1－2i－1＋2i－1－2i＝－4－3i5，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是(－45，－35)，位于第三象限，选C.4．(文)(2013·哈尔滨四校统考)设i是虚数单位，则复数2－3i3＋i的共轭复数是()A.910＋1110iB.910－1110iC.310－1110iD.310＋1110i[答案]D[解析]2－3i3＋i＝2－3i3－i10＝310－1110i，所以它的共轭复数是310＋1110i，选D.(理)(2013·安徽理，1)设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若z·zi＋2＝2z，则z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i[答案]A[解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z·zi＋2＝2z得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，所以2a＝2，a2＋b2＝2b，所以a＝1，b＝1，即z＝a＋bi＝1＋i.5．(文)若a、b∈R，则复数(a2＋6a＋10)＋(－b2－4b－5)i对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]D[解析]a2＋6a＋10＝(a＋3)2＋10，－b2－4b－5＝－(b＋2)2－10.(理)设a，b为实数，若复数1＋2ia＋bi＝1＋i，则()A．a＝32，b＝12B．a＝3，b＝1C．a＝12，b＝32D．a＝1，b＝3[答案]A[解析]1＋2i＝(a＋bi)(1＋i)＝a－b＋(a＋b)i，∴a－b＝1，a＋b＝2.∴a＝32，b＝12.故选A.6．(2013·陕西理，6)设z1、z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22[答案]D[解析]对于选项A，若|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故z－1＝z－2，正确；对于选项B，若z1＝z－2，则z－1＝z＝2＝z2，正确；对于选项C，z1·z－1＝|z1|2，z2·z－2＝|z2|2，若|z1|＝|z2|，则z1·z－1＝z2·z－2，正确；对于选项D，如令z1＝i＋1，z2＝1－i，满足|z1|＝|z2|，而z21＝2i，z22＝－2i，故不正确．二、填空题7．规定运算abcd＝ad－bc，若zi－i2＝1－2i，设i为虚数单位，则复数z＝________.[答案]1－i[解析]由已知可得zi－i2＝2z＋i2＝2z－1＝1－2i，∴z＝1－i.8．(文)(2012·江苏，3)设a、b∈R，a＋bi＝11－7i1－2i(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．[答案]8[解析]a＋bi＝11－7i1－2i＝11－7i1＋2i1－2i1＋2i＝5＋3i，∴a＝5，b＝3，∴a＋b＝8.(理)若复数z满足z－|z|＝－1＋3i，则z－＝________.[答案]4－3i[解析]由条件可设z＝a＋3i，则|z|＝a2＋9，∴a－a2＋9＝－1，∴a＝4，∴z＝4＋3i，∴z－＝4－3i.9．已知复数z1＝2＋i，z2＝3－i，其中i是虚数单位，则复数z1z2的实部与虚部之和为________．[答案]1[解析]z1z2＝2＋i3－i＝2＋i3＋i10＝12＋12i，所以它的实部与虚部之和为1.三、解答题10．已知复数(1－2i)i(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点M在直线y＝mx＋n上，其中mn0，求1m＋1n的最小值．[解析]∵(1－2i)i＝2＋i，∴M(2,1)．∴2m＋n＝1，∴1m＋1n＝(1m＋1n)·(2m＋n)＝3＋nm＋2mn≥3＋22.当且仅当nm＝2mn，2m＋n＝1.即m＝2＋22，n＝－1－2.或m＝2－22，n＝2－1.时等号成立，∵mn0，∴m＝2－22，n＝2－1.∴1m＋1n的最小值为3＋22.能力拓展提升一、选择题11．若i为虚数单位，已知a＋bi＝2＋i1－i(a、b∈R)，则点(a，b)与圆x2＋y2＝2的关系为()A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．不能确定[答案]A[解析]∵a＋bi＝2＋i1－i＝2＋i1＋i2＝12＋32i(a，b∈R)，∴a＝12，b＝32.∵122＋322＝522，∴点P12，32在圆x2＋y2＝2外，故选A.12．已知复数z1＝cos23°＋isin23°和复数z2＝cos37°＋isin37°，则z1·z2为()A.12＋32iB.32＋12iC.12－32iD.32－12i[答案]A[解析]z1·z2＝cos23°cos37°－sin23°sin37°＋(sin37°cos23°＋cos37°sin23°)i＝cos60°＋i·sin60°＝12＋32i，故选A.13．(文)(2013·安徽联考)已知i是虚数单位，则(1＋i2)2013在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]C[解析]∵(1＋i2)2＝2i2＝i，i2＝－1.∴(1＋i2)4＝－1，∴(1＋i2)2012＝(－1)503＝－1.∴(1＋i2)2013＝－1＋i2＝－22－22i，∴选C.(理)(2013·长春调研)已知复数z＝1＋ai(a∈R，i是虚数单位)，z－z＝－35＋45i，则a＝()A．2B．－2C．±2D．－12[答案]B[解析]由题意可知：1－ai1＋ai＝1－ai21＋ai1－ai＝1－2ai－a21＋a2＝1－a21＋a2－2a1＋a2i＝－35＋45i，因此1－a21＋a2＝－35，化简得5a2－5＝3a2＋3，a2＝4，则a＝±2，由－2a1＋a2＝45可知a0，仅有a＝－2满足，故选B.二、填空题14．设i为虚数单位，复数z＝(12＋5i)(cosθ＋isinθ)，若z∈R，则tanθ的值为________．[答案]－512[解析]z＝(12cosθ－5sinθ)＋(12sinθ＋5cosθ)i∈R，∴12sinθ＋5cosθ＝0，∴tanθ＝－512.15．已知z1＝1＋ai，z2＝b－i(a，b∈R)，z1·z2＝5＋5i，z1z2的实部为负数，则|z1－z2|＝________.[答案]17[解析]∵z1·z2＝(1＋ai)(b－i)＝b＋abi－i＋a＝5＋5i，∴a＋b＝5，ab－1＝5，∴a＝2，b＝3，或a＝3，b＝2，∴z1z2＝1＋2i3－i＝110＋710i(不合题意，舍去)或z1z2＝1＋3i2－i＝－15＋75i.∴z1＝1＋3i，z2＝2－i，∴z1－z2＝－1＋4i，∴|z1－z2|＝17.三、解答题16．(文)已知复数z＝a2－7a＋6a＋1＋(a2－5a－6)i(a∈R)．试求实数a分别为什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[解析](1)当z为实数时，a2－5a－6＝0，a＋1≠0.∴a＝6，∴当a＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，a2－5a－6≠0，a＋1≠0.∴a≠－1且a≠6，故当a∈R，a≠－1且a≠6时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，a2－5a－6≠0，a2－7a＋6＝0，a＋1≠0.∴a＝1，故a＝1时，z为纯虚数．(理)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当实数m取何值时．(1)z是纯虚数．(2)z是实数．(3)z对应的点位于复平面的第二象限．[解析](1)由题意知lgm2－2m－2＝0，m2＋3m＋2≠0.解得m＝3.所以当m＝3时，z是纯虚数．(2)由m2＋3m＋2＝0，得m＝－1或m＝－2，又m＝－1或m＝－2时，m2－2m－20，所以当m＝－1或m＝－2时，z是实数．(3)由lgm2－2m－20，m2＋3m＋20.解得：－1m1－3或1＋3m3.考纲要求1．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．2．了解复数的代数表示法和几何意义，会进行复数代数形式的四则运算．3．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．补充说明1．方程思想解决复数问题，常常要设出复数的代数形式，或设出方程的实根，利用复数相等的条件转化为实数的方程求解．2．复数的解题策略(1)证明复数z是实数：①设z＝a＋bi(a，b∈R)，z∈R⇔b＝0；②z∈R⇔z－＝z.(2)证明复数z是纯虚数①设z＝a＋bi(a，b∈R)，z为纯虚数⇔a＝0且b≠0；②z为纯虚数⇔z＋z－＝0，z≠0.备选习题1．(2013·长沙模拟)已知集合M＝{i，i2，1i，1＋i2i}，i是虚数单位，Z为整数集，则集合Z∩M中的元素个数是()A．3个B．2个C．1个D．0个[答案]B[解析]由已知得M＝{i，－1，－i,2}，Z为整数集，∴Z∩M＝{－1,2}，即集合Z∩M中有2个元素．2．设a是实数，且a1＋i＋1－i2是实数，则a等于()A.12B．－1C．1D．2[答案]B[解析]∵a1＋i＋1－i2＝a1－i2＋1－i2＝1＋a2－1＋a2i是实数，又∵a∈R，∴1＋a2＝0，∴a＝－1.3．设i是虚数单位，复数1＋ai2－i为纯虚数，则实数a为()A．2B．－2C．－12D.12[答案]A[解析]1＋ai2－i＝1＋ai2＋i2－i2＋i＝2－a＋2a＋1i5＝2－a5＋2a＋15i为纯虚数，∴2－a5＝0，2a＋15≠0.∴a＝2.4．(2013·湖北理，1)在复平面内，复数z＝2i1＋i(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]D[解析]∵z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝i(1－i)＝1＋i，∴复数z＝2i1＋i的共轭复数z－＝1－i，其在复平面内对应的点(1，－1)位于第四象限．5．(2013·安徽联盟一模)已知i是虚数单位，若z1＝a＋32i，z2＝a－32i，若z1z2为纯虚数，则实数a＝()A.32B．－32C.32或－32D．0[答案]C[解析]∵z1z2＝a＋32ia－32i＝a＋32i2a－32ia＋32i＝a2－34－3aia2＋34为纯虚数，∴a2－34＝0，a≠0，∴a＝±32.