走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学12-2

基础巩固强化一、选择题1．(文)极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是()A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线[答案]C[解析]原方程等价于ρ＝1或θ＝π，前者是半径为1的圆，后者是一条射线．(理)(2013·北京西城期末)在极坐标系中，已知点P(2，π6)，则过点P且平行于极轴的直线的方程是()A．ρsinθ＝1B．ρsinθ＝3C．ρcosθ＝1D．ρcosθ＝3[答案]A[解析]点P(2，π6)的直角坐标为(3，1)，∵所求直线平行于极轴，∴所求直线的斜率k＝0.所求直线的普通方程为y＝1，化为极坐标方程为ρsinθ＝1，故选A.2．(文)设极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴为x轴正半轴，则直线x＝1＋2t，y＝2＋t.(t为参数)被圆ρ＝3截得的弦长为()A.125B.1255C.955D.9510[答案]B[解析]圆的直角坐标方程为x2＋y2＝9，直线的参数方程化为普通方程为x－2y＋3＝0，则圆心(0,0)到直线的距离d＝35.所以弦长为232－d2＝1255.(理)已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线x＝4t2，y＝4t.(t为参数)上，则|PF|＝()A．1B．2C．3D．4[答案]D[解析]将抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，又P(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知|PF|＝3－(－1)＝4.3．(文)(2013·北京海淀期末)已知直线l：x＝2＋t，y＝－2－t(t为参数)与圆C：x＝2cosθ＋1，y＝2sinθ(θ为参数)，则直线l的倾斜角及圆心C的直角坐标分别为()A.π4，(1,0)B.π4，(－1,0)C.3π4，(1,0)D.3π4，(－1,0)[答案]C[解析]∵直线l的普通方程为x＋y＝0，∴直线l的倾斜角为3π4.又∵圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4，∴圆心坐标为(1,0)，故选C.(理)(2013·山西太原测评)若直线x＝－1＋2t，y＝－1－t(t为参数)被曲线x＝1＋3cosθ，y＝1＋3sinθ(θ为参数，θ∈R)所截，则截得的弦的长度是()A.355B.655C.322D．62[答案]B[解析]∵x＝－1＋2t，y＝－1－t，∴x＋2y＋3＝0.∵x＝1＋3cosθ，y＝1＋3sinθ，∴(x－1)2＋(y－1)2＝9，∴圆心(1,1)到直线x＋2y＋3＝0的距离d＝|1＋2＋3|5＝655，弦长为232－6552＝655，故选B.4．若直线的参数方程为x＝1＋3t，y＝2－3t.(t为参数)，则直线的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．150°[答案]D[解析]由直线的参数方程知，斜率k＝y－2x－1＝－3t3t＝－33＝tanθ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°.5．(文)在极坐标系中，过点(2，π3)且与极轴平行的直线的方程是()A．ρcosθ＝3B．ρsinθ＝3C．ρ＝3cosθD．ρ＝3sinθ[答案]B[解析]设P(ρ，θ)是所求直线上任意一点，则ρsinθ＝2sinπ3，∴ρsinθ＝3，故选B.(理)(2013·安徽理，7)在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1[答案]B[解析]由题意可知，圆ρ＝2cosθ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B.6．(2012·淮南市二模)已知曲线C：x＝2cosθ，y＝2sinθ.(θ为参数)和直线l：x＝t，y＝t＋b.(t为参数，b为实数)，若曲线C上恰有3个点到直线l的距离等于1，则b＝()A.2B．－2C．0D．±2[答案]D[解析]将曲线C和直线l的参数方程分别化为普通方程为x2＋y2＝4和y＝x＋b，依题意，若要使圆上有3个点到直线l的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b|2＝1，解得b＝±2.二、填空题7．若直线l1：x＝1－2t，y＝2＋kt.(t为参数)与直线l2：x＝s，y＝1－2s.(s为参数)垂直，则k＝______.[答案]－1[解析]l1：x＝1－2t，y＝2＋kt.(t为参数)化为普通方程为y－2＝－k2(x－1)，l2：x＝s，y＝1－2s.(s为参数)化为普通方程为y－1＝－2x，∵l1⊥l2，∴－k2·(－2)＝－1，k＝－1.8．(文)(2013·江西理，15)设曲线C的参数方程为x＝ty＝t2(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．[答案]ρcos2θ－sinθ＝0[解析]由参数方程x＝t，y＝t2得曲线在直角坐标系下的方程为y＝x2.由公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ.(理)(2013·陕西理，15)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．[答案]x＝cos2θ，y＝sinθcosθ(θ为参数)[解析]由三角函数定义知yx＝tanθ(x≠0)，y＝xtanθ，由x2＋y2－x＝0得，x2＋x2tan2θ－x＝0，x＝11＋tan2θ＝cos2θ，则y＝xtanθ＝cos2θtanθ＝sinθcosθ，又θ＝π2时，x＝0，y＝0也适合题意，故参数方程为x＝cos2θ，y＝sinθcosθ(θ为参数)．[解法探究]因为直线OP与圆的交点为P，所以点P与直径两端点构成直角三角形，故可通过解直角三角形求得参数方程．将圆x2＋y2－x＝0配方得，(x－12)2＋y2＝14，∴圆的直径为1.设P(x，y)，则|OP|＝cosθ，x＝|OP|cosθ＝cos2θ，y＝|OP|sinθ＝sinθcosθ.∴圆的参数方程为x＝cos2θ，y＝sinθcosθ，(θ为参数)．9．(文)(2012·深圳调研)在极坐标系中，点P(1，π2)到直线l：ρcos(θ＋π4)＝322上的点的最短距离为________．[答案]22[解析]注意到点P(1，π2)的直角坐标是(0,1)，直线l：ρcos(θ＋π4)＝322的直角坐标方程是x－y－3＝0，因此点P(1，π2)到直线l上的点的最短距离，即点P到直线l的距离，等于|0－1－3|2＝22.(理)在极坐标系中，圆ρ＝4cosθ的圆心C到直线ρsin(θ＋π4)＝22的距离为________．[答案]2[解析]注意到圆ρ＝4cosθ的直角坐标方程是x2＋y2＝4x，圆心C的坐标是(2,0)．直线ρsin(θ＋π4)＝22的直角坐标方程是x＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线的距离等于|2＋0－4|2＝2.三、解答题10．(文)(2012·河南六市联考)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线C2的参数方程为x＝3＋4t，y＝2＋3t.(t为参数)．(1)将C1化为直角坐标方程；(2)曲线C1与C2是否相交？若相交，求出弦长，若不相交，请说明理由．[解析](1)∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，∴x2＋y2＝4x，所以C1的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.(2)C2的直角坐标方程为3x－4y－1＝0，C1表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．圆心C1(2,0)到直线C2的距离d＝|3×2－4×0－1|32＋42＝12.所以C1与C2相交．相交弦长|AB|＝222－12＝23.(理)已知直线C1：x＝1＋tcosα，y＝tsinα.(t为参数)，圆C2：ρ＝1.(极坐标轴与x轴非负半轴重合)(1)当α＝π3时，求直线C1被圆C2所截得的弦长；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A.当a变化时，求A点的轨迹的普通方程．[解析](1)当α＝π3时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.法1：联立方程组y＝3x－1，x2＋y2＝1.解得C1与C2的交点为(1,0)，(12，－32)，所以截得的弦长为1－122＋－322＝1.法2：原点O到直线C1的距离为|0－0－3|32＋1＝32，又圆C2的半径为1，所以截得的弦长为21－322＝2×12＝1.(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，故当α变化时，A点轨迹的参数方程为x＝sin2α，y＝－sinαcosα.(α为参数)．所以A点轨迹的普通方程为x2＋y2－x＝0.能力拓展提升一、填空题11．(2013·广东理，14)已知曲线C的参数方程为x＝2costy＝2sint(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．[答案]ρsin(θ＋π4)＝2[解析]∵曲线C的参数方程为x＝2cost，y＝2sint，(t为参数)，∴其普通方程为x2＋y2＝2.又点(1,1)在曲线C上，∴曲线l的斜率k＝－1.故l的方程为x＋y－2＝0，化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝2，即ρsin(θ＋π4)＝2.12．(文)极坐标系中，点A在曲线ρ＝2sinθ上，点B在曲线ρcosθ＝－2上，则|AB|的最小值为________．[答案]1[解析]ρ＝2sinθ⇒ρ2＝2ρsinθ∴x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1；∵ρcosθ＝－2，∴x＝－2，易知圆心(0,1)到直线x＝－2的距离为2，圆半径为1，故|AB|min＝1.(理)在极坐标系中，设P是直线l：ρ(cosθ＋sinθ)＝4上任一点，Q是圆C：ρ2＝4ρcosθ－3上任一点，则|PQ|的最小值是________．[答案]2－1[解析]直线l方程化为x＋y－4＝0，⊙C方程化为x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1.圆心C(2,0)到直线l的距离d＝|2＋0－4|2＝2，∴|PQ|min＝2－1.13．(文)(2013·广东深圳一模)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的参数方程为x＝t，y＝t＋1(t为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ－ρcosθ＝3，则C1与C2的交点在直角坐标系中的坐标为________．[答案](2,5)[解析]将曲线C1的参数方程和曲线C2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程C1：y＝x2＋1，C2：y－x＝3，由y＝x2＋1，y－x＝3，解得x＝2，y＝5，故交点坐标为(2,5)．(理)以椭圆x225＋y216＝1的焦点为焦点，以直线x＝2ty＝4t为渐近线的双曲线的参数方程为________________．[答案]x＝secθ，y＝22tanθ.(θ≠kπ＋π2)[解析]∵椭圆的焦点(±3,0)，∴双曲线中c＝3，又直线x＝2t，y＝4t.化为y＝22x，它是双曲线的渐近线，∴ba＝22，∴a2＝1，b2＝8，∴a＝1，b＝22，∴双曲线的参数方程为x＝secθ，y＝22tanθ.(θ≠kπ＋π2)．14．(2013·广东广州调研)已知圆C的参数方程为x＝cosθ，y＝sinθ＋2(θ为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＋ρcosθ＝1，则直线l被圆C所截得的弦长是________．[答案]2[解析]圆C的参数方程化为普通方