运动变化观点和极限思想在解析几何中的应用苏教版

运动变化观点和极限思想在解析几何中的应用袁海峰（江阴市长泾中学214411）解析几何中，我们常常遇到这样的问题：在平面直角坐标系中，已知一点P(a,b)(不在坐标轴上)，过点P作直线L与两坐标轴围成的三角形的面积为S，则符合条件的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条碰到这样的问题，学生往往会采用以下方法进行求解：解：由题设可知，直线L的斜率一定存在故设直线L的方程为,)(baxky则直线L与两坐标轴的交点坐标分别为)0,(kbak、),,0(akb构成的三角形的面积,2)(2kbakS解上述方程，有几解，则表示有几条直线.这样求解，不但可以求出直线的条数，同时也把相应的直线的方程求出.如若是解答题，这样做的话倒也无可厚非，但若是在平时的测验或是高考中遇到这样的问题，并且象上面这样按部就班的去解的话，可能会花费不少宝贵的时间，有点得不偿失.下面我们一起来用运动变化观点和极限思想来解决这一问题：如图（1），不妨假设点P(a,b)位于第一象限（其它象限完全一样），将直线L绕点P不断旋转，可发现当直线L位于图(2)所示的两个位置时必满足题意，即符合题意的直线L至少有两条，接下去就要考虑此直线与两坐标轴的正半轴所构成的三角形的面积能否为S,如可以，又有几条？由于此时三角形的面积具有最小值0S，且取得最小值时直线L的方程为L0:,2abaybx即0S=2ab,故我们只需将S与0S进行比较，若S＝0S，在第一象限符合题意的直线有且只有１条即L0.（如图(3)）；若S0S，在第一象限符合题意的直线有２条.（如图（4））；若S0S，在第一象限符合题意的直线不存在.通过上述过程，我们可以看出，我们只需求出0S的值，然后比较S和0S的大小，即可得出符合题意的直线L的条数.即结论１：若S0S，则符合题意的直线有4条；（如图(5)）若S＝0S,则符合题意的直线有3条；（如图(6)）若S0S,则符合题意的直线有2条.（如图(7)）运用上述思想方法，我们还可以得到以下结论：结论２：已知平面直角坐标系中，不重合的两点P、Q间的距离为d0，过点P作直线L使得Q点到直线L的距离为d,若d=d0,则符合题意的直线有且只有１条（即过点P且与直线PQ垂直的直线（如图(8)）；若dd0,则符合题意的直线有2条(且关于直线PQ对称)（如图(9)）；若dd0,则符合题意的直线不存在.结论３：已知平面直角坐标系中，不重合的两点P、Q间的距离为0d，过点P和Q分别作直线1L、2L且1L∥2L，若1L与2L间的距离为d，若d=0d,则符合题意的直线组有且只有１组（分别过点P、Q且与直线PQ垂直(如图(10))）；若d0d,则符合题意的直线组有2组（分别关于直线PQ对称(如图(11))）；若d0d,则符合题意的直线组不存在.结论４：已知平面直角坐标系中，不重合的两点P、Q间的距离为0d，若P、Q两点到直线L的距离均为d,若d20d，则符合题意的直线L有2条（都与直线PQ平行，且关于直线PQ对称（如图(12)））；若d=20d,则符合题意的直线L有3条(其中两条与直线PQ平行，且关于直线PQ对称，另一条为线段PQ的垂直平分线(如图（13)))；若d20d,则符合题意的直线L有4条(其中两条与直线PQ平行，且关于直线PQ对称，另两条都经过线段PQ的中点，且关于线段PQ的垂直平分线对称(如图(14))).例１过点P(1,1)作直线L与两坐标轴围成的三角形的面积为10,直线L有（）A.1条B.2条C.3条D.4条（略解）∵点P坐标为(1,1)，故过点P且与X、Y轴正半轴所围三角形面积最小时直线L的方程为2yx,由结论１SS1020故这样的直线L有４条，选（D）例２设直线L经过点A(-1,1)，则当点B(2,-1)与直线L距离最远时直线L的方程为______________________.（略解）∵点B到直线L的距离最远由结论２可知直线L必与直线AB垂直又∵直线AB的斜率为32∴直线L的方程为1)1(23xy即0523yx例3直线L通过两直线02457yx和0yx的交点A，且与过点B(5,-2)的直线1L的距离为5，则直线L的方程为___________________________.(略解)∵两直线02457yx和0yx的交点A(2,2)∴点A、B间的距离为5，由结论３可知直线L⊥直线AB，又∵直线AB的斜率为34∴直线L的方程为2)2(43xy即0243yx例4在平面直角坐标系内，与A、B两点距离等于1的直线至少有3条，则AB的取值范围是（）A.),2[B.),2(C.)2,(D.]2,((略解)由结论４可知1d由题设这样的直线至少有3条，由结论3得2ABd∴2AB故选（A）