郑州大学软件学院级高等数学(上)课程试题(A)

高等数学（下）理工，共6页，第1页2008级微积分（上）理工课程试题（A）合分人：复查人：一、求下列极限（每小题6分，共18分）分数评卷人1.求011limcotsinxxxx2.求110(1)limxxxxe3.求220020coslimsinxxxuuduudu题号一二三四五六七总分分数高等数学（下）理工，共6页，第2页二、求解下列各题（每小题6分，共12分）分数评卷人1.设()fx为可导函数，且20()()xtftdtfxx，求()fx2.求方程xyye的通解高等数学（下）理工，共6页，第3页三、求下列函数的导数或微分（每小题5分，共20分）分数评卷人1.设21sinsin,0()1,0xxxxfxxex，求(0)f2.设()fx在[0,1]上可导，且22(sin)(cos)yfxfx，求(4y）3.设()yyx由方程1yxyxe所确定，求dy高等数学（下）理工，共6页，第4页4.设2ln1sincos2xtyt，求22dydx四、（共10分）分数评卷人设10()||fxttxdt，01x，求()fx的单调区间、极值及曲线()yfx的凸区间高等数学（下）理工，共6页，第5页五、求下列积分（每小题5分，共20分）分数评卷人1.求2222sin(1)cosxxdxxx2.求223(1)xdxx3.求021(1)xxedxx4.求11dxxxx高等数学（下）理工，共6页，第6页六、（共12分）分数评卷人求曲线21yx及其在点(1,0)的切线和y轴所围平面图形的面积及该图形绕x轴旋转一周所得立体的体积。七、（共8分）分数评卷人证明方程2040cos10xtxtdtedt在(0,)2内有唯一实根。高等数学（下）理工，共6页，第7页2008级高等数学（上）理工课程试题（A）(答案)一．1解：原式=30sinlimxxxx=20cos11lim36xxx2解：原式=20ln(1)limxxxxe=01111lim22xxxee3解：原式=220202coscoslimsinxxuuduxxx=202002coslimlim2cos0xxxuuduxxx二．1解：两边对x求导：()()2xfxfxx，即()()2fxxfxx它的通解为22()((2))2xxdxxdxfxecxedxce又(0)0f可知2c，故22()22xfxe2解：齐次方程的特征方程为20rr，特征根为120,1rr齐次方程的通解为12xycce设特解*xyAe，代入原方程得12A故原方程的通解为1212xxyccee三．1解：00()(0)1sin(0)limlim(sin)1xxfxfxfxxxx00()(0)1(0)limlim1xxxfxfefxx故(0)1f2解：2222(sin)sin2(cos)sin2sin2[(sin)(cos)]yfxxfxxxfxfx高等数学（下）理工，共6页，第8页(4y）=03解：()(1),ydxydxe即yyydxxdyedxxedy解出(1)yyyedydxxe4解：22()2sin24(1sin)1sin2()21sindyyttttdxxtt解出2222()4sin28(1sin)1sin2()21sintdyytttdxxtt四．解：10()()()xxfxtxtdtttxdt333116623323xxxxx令21()02fxx可得驻点22x，当202x时，()0fx，()fx在2(0,)2内单减，当212x时，()0fx，()fx在2(,1)2内单增.故()fx在22x取得极小值1236.又()20(01)fxxx,因此()yfx在01x内是下凸的.五．1解:原式=2222221(1sin)1sec(1)cos1xxdxxdxdxxxx=tanarctanxxc2解:原式2223tan1costansecseccosttxttdtdttt=seccosln|sectan|sintdttdttttc高等数学（下）理工，共6页，第9页=22ln|1|1xxxcx3解:原式=011()1xxedx=0001111(1)11122xxxxeeexedxedxxx4解:原式=1121dxx=12arctan2x六．解：2,(1)2yxy.切线方程为22yx切线与y轴交点为(0,2),于是1201[(22)(1)]3Axxdx1122200(22)(1)xVxdxxdx=3844155七．证明:令2040cos()1xtxFxtdtedt,则201(0)0,tFedt420()10,2Ftdt由零点定理知()0Fx至少有一个实根.又24cos()1sin0(0)2xFxxexx,则()Fx在(0,)2内单增.故()0Fx在(0,)2内有唯一实根.高等数学（下）理工，共6页，第10页