二次函数的定义与性质

重点、难点：用描点法画出二次函数的图象，从图象上认识二次函数的性质.会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题.重点、难点解析：二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型，也是某些单变量最优化问题的数学模型.二次函数也是一种非常基本的初等函数，它作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，对二次函数的研究将为进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验.在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为进入高中后进一步学习函数知识奠定基础.一、二次函数的定义和性质1.二次函数的定义：形如(a≠0，a，b，c为常数)的函数为二次函数.2.二次函数的性质：(1)二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大.(2)二次函数的图象是一条抛物线.顶点为(-，)，对称轴；当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x＞-，y随x的增大而增大，x＜-，y随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x＞-，y随x的增大而减小，x＜-，y随x的增大而增大.(3)当a＞0时，当时，函数有最小值；当a＜0时，当时，函数有最大值.3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的各项系数a、b、c对其图象的影响(1)a决定抛物线的开口方向和开口大小：a＞0，开口向上；a＜0，开口向下.|a|的越大，开口越小.|a|相等，抛物线全等.(2)a与b决定抛物线对称轴的位置：a、b同号，抛物线的对称轴(即直线)或顶点在y轴左侧；a、b异号，抛物线的对称轴(即直线)或顶点在y轴右侧；b=0时，抛物线的对称轴是y轴.a，b都相同的抛物线是以顶点为动点的且沿对称轴平移而得到的一组抛物线系.(3)c决定抛物线与y轴交点(0，c)的位置：c＞0，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0，抛物线与y轴交于负半轴；c=0，抛物线与y轴交点是坐标原点.c相同的抛物线都过点(0，c).这些内容应该能够由数得形、依形判数.典型例题：1．已知抛物线的部分图象(如图)，图象再次与x轴相交时的坐标是()(A)(5，0)(B)(6，0)(C)(7，0)(D)(8，0)解：C分析：由，可知其对称轴为x=4，而图象与x轴已交于(1，0)，则与x轴的另一交点为(7，0).2．函数y=x2-4的图象与y轴的交点坐标是()A.(2，0)B.(-2，0)C.(0，4)D.(0，-4)解：D分析：函数y=x2-4的图象与y轴的交点的横坐标为0，x=0时，y=-4，故选D.3．已知二次函数的图象如图所示，则a、b、c满足()A.a＜0，b＜0，c＞0B.a＜0，b＜0，c＜0C.a＜0，b＞0，c＞0D.a＞0，b＜0，c＞0解：A分析：由抛物线开口向下可知a＜0；与y轴交于正半轴可知c＞0；抛物线的对称轴在y轴左侧，可知-＜0.则b＜0.故选A.4．抛物线y=4(x+2)2+5的对称轴是______.解：x=-2分析：抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴为x=h.5．y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则点M(a，bc)在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析：由图可知：抛物线开口向上a＞0.bc＞0.∴点M(a，bc)在第一象限.答案：A.点评：本题主要考查由抛物线图象会确定a、b、c的符号.6．已知一次函数y=ax+c，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，它们在同一坐标系中的大致图象是().分析：一次函数y=ax+c，当a＞0时，图象过一、三象限；当a＜0时，图象过二、四象限；c＞0时，直线交y轴于正半轴；当c＜0时，直线交y轴于负半轴；对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)来讲：解：可用排除法，设当a＞0时，二次函数y=ax2+bx+c的开口向上，而一次函数y=ax+c应过一、三象限，故排除C；当a＜0时，用同样方法可排除A；c决定直线与y轴交点；也在抛物线中决定抛物线与y轴交点，本题中c相同则两函数图象在y轴上有相同的交点，故排除B.答案：D.二、图象的平移抛物线y=ax2抛物线y=a(x-h)2+k当h＞0，k＞0时，把抛物线y=ax2向右平移h个单位，再向上平移k个单位，得到抛物线y=a(x-h)2+k；当h＞0，k＜0时，把抛物线y=ax2向右平移h个单位，再向下平移|k|个单位，得到抛物线y=a(x-h)2+k；当h＜0，k＞0时，把抛物线y=ax2向左平移|h|个单位，再向上平移k个单位，得到抛物线y=a(x-h)2+k；当h＜0，k＜0时，把抛物线y=ax2向左平移|h|个单位，再向下平移|k|个单位，得到抛物线y=a(x-h)2+k.在学习中，不要死记这些结论，在观察中发现，函数图象的平移就是顶点的平移(也可以是其它关键点的平移，这是由于函数图象的平移是整体的平移，每个点都做相同的变换)，还可以引申到直线、双曲线的平移.在解题时，一定分清移动谁，不妨画草图.典型例题下面看几个考查平移的问题1．(湖南长沙)把抛物线y=-2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是()A.y=-2(x+1)2B.y=-2(x-1)2C.y=-2x2+1D.y=-2x2-1提示：这个题很基本，把顶点从原点处移至(0，1)处，选C.2．(山西省)抛物线经过平移得到，平移方法是()A.向左平移1个单位，再向下平移3个单位B.向左平移1个单位，再向上平移3个单位C.向右平移1个单位，再向下平移3个单位D.向右平移1个单位，再向上平移3个单位提示：此题要注意被移动的是抛物线=-2(x+1)2-3，即把顶点从(-1，-3)处移至原点处，因此写平移时需注意方向.选D.3．(湖北荆门)把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2-3x+5，则()A.b=3，c=7B.b=6，c=3C.b=-9，c=-5D.b=-9，c=21答案：A提示：此题两种方法：法一：先求出y=x2-3x+5的顶点，按平移过程求出原图象顶点，从而求出解析式，确定b、c的值；法二：先求出图象与y轴交点(0，5)按平移过程得原图象上一点(-3，7)，再求y=x2-3x+5上点(3，5)，按平移过程得原图象上一点(0，7)…4．(资阳市)在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是()A.y=2(x-2)2+2B.y=2(x+2)2-2C.y=2(x-2)2-2D.y=2(x+2)2+2提示：这是移轴的问题，需将它转化为移图象的问题——把图象向下、向左平移2个单位.可以先画图，总结规律.选B.三、二次函数的作图典型例题1．通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图.解：因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1，8).由对称性列表：x…-2-101234……-1006860-10…描点、连线，如图所示.回顾与反思：(1)列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到.(2)描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点.探索：对于二次函数，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴__________，顶点坐标__________.2．已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值.分析：顶点在坐标轴上有两种可能：(1)顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；(2)顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0.解：，则抛物线的顶点坐标是.当顶点在y轴上时，有，解得.当顶点在x轴上时，有，解得或.所以，当抛物线的顶点在坐标轴上时，有三个值，分别是–2，4，-8.