理力答案-第七、八章

7-1计算图示各系统的动能：（1）偏心圆盘的质量为m，偏心距OC=e，对质心的回转半径为C，绕轴O以角速度0转动（图a）。（2）长为l，质量为m的匀质杆，其端部固结半径为r，质量为m的匀质圆盘。杆绕轴O以角速度0转动（图b）。（3）滑块A沿水平面以速度1v移动，重块B沿滑块以相对速度2v下滑，已知滑块A的质量为m1，重块B的质量为m2（图c）。（4）汽车以速度v0沿平直道路行驶，已知汽车的总质量为M，轮子的质量为m，半径为R，轮子可近似视为匀质圆盘（共有4个轮子）（图d）。解：(1)2222200111()222CCCTmvJme(2)22222111(83)326OJmlmrmlmlr22220011(83)212OTJmlr(3)22121122ABTmvmv22221121212221212221211(2cos150)22311()222mvmvvvvmmvmvmvv(4)222200021111(4)4()2222vTMmvmvmRR201()2Mmv7-2一常力矩M作用在绞车的鼓轮上，轮的半径为r，质量为m1。缠在鼓轮上绳索的末端A系一质量为m2的重物，沿着与水平倾斜角为a的斜面上升，如图所示。重物与斜面间的滑动摩擦系数为。绳索的质量不计，鼓轮可看成为匀质圆柱体，开始时系统静止。求鼓轮转过角时的角速度。FNm2gXYMAFNm2gXYMA解：为一自由度理想约束系统。取鼓轮、重物及绳索组成的系统为研究对象，受力图如图示。鼓轮转过角时系统的动能为：2222212111222Tmrmr重力、摩擦力和力矩M在此有限路程上的功为：122sinWMFrmgr112222sincos12242mrmrMmgr212sincos22Mmgrrmm7-3绞车提升一质量为m的重物P，如图所示。绞车在主动轴上作用一不变的转动力矩M。已知主动轴和从动轴连同安装在这两轴上的齿轮以及其他附属零件的转动惯量分别为J1和J2，传速比z1/z2=i。吊索缠绕在鼓轮上，鼓轮的半径为R。设轴承的摩擦以及吊索的质量均可略去不计。试求重物的加速度。解：为一自由度理想约束系统，取整体系统为研究对象。由运动学关系得：212,vviiRR系统的动能为：22222211221221111()2222vTJJmvJiJmRR22122d()dvTJiJmRvR作用在系统上的力系的元功为：1dd()dvWMtmgvtMimgRtR由动能定理的微分形式得：2212()MimgRRaJiJmR7-4匀质圆盘A和B的质量均为m，半径均为R。重物C的质量为mC，且知。三角块的质量为M，绳的质量忽略不计。圆盘A在倾斜角为的斜面上作无滑动滚动，三角块D放在光滑平面上，不计铰B及重物C与三角块间的摩擦，求三角块D的加速度。解：为二自由度系统。取广义坐标x和xr如图示。可用动能定理和动量守恒定理求解。系统的动能为：22222222222211111+/22222111+2cos+/2221122cos22CrrrrrCCrrTMxmxxmxmRxRmxxxxmRxRMmmxmmxmxxd2d2ddcosdcosCCrrrrTMmmxxmmxxmxxmxxdsindCrrWmgxtmgxt由dTW得：22coscossinCCrrrrCrMmmxxmmxxmxxmxxmgmgx系统在水平方向的动量守恒，即：cos2cos0xrCCrPmxxmxmxMxMmmxmxABCDmgmgMgmCgxrxABCDmgmgMgmCgxrx联立求解得：22cossin22cosCCCmmmxgmmmmMm7-5匀质细杆OA可绕水平轴O转动，另一端有一匀质圆盘，圆盘可绕A在铅直面内自由旋转，如图所示。已知杆OA长l，质量为m1；圆盘半径R，质量为m2。摩擦不计，初始时杆OA水平，杆和圆盘静止。求杆与水平线成角的瞬时，杆的角速度和角加速度。解：对初状态（0）和末状态（），以杆与圆盘为系统，应用动能定理2112TTA（1）而2222211221213112326mlmmTmll，10T1212122gsinsinsin22mmlAmmglgl于是1211236sin3mmgmml对（1）式求导：AT可得：lmmgmm)62(cos)63(21217-6图示三棱柱体ABC的质量为m1,放在光滑的水平面上，可以无摩擦地滑动。质量为m2的均质圆柱体O由静止沿斜面AB向下滚动而不滑动。如斜面的倾角为，求三棱柱体的加速度。解：取三棱柱体ABC的位移x及均质圆柱体O距离A端的相对位移rx为广义坐标，参考例7-7直接写出系统的运动微分方程为：0cos0sincos2322122rrxmxmmmgxmxm由此可以解得三棱柱体的加速度大小为：gmmmmxa22212sin232sin7-7两根长为l、质量为m的匀质杆AC与CB用铰C相连接，A端为铰支座，B端用铰与一匀质圆盘连接，圆盘半径为r，质量为2m，它在水平面上作无滑动的滚动。当q=30°时，此系统在重力作用下无初速开始运动，求此瞬时杆AC的角加速度。解：系统具有一个自由度，取q为广义坐标。D点为杆BC的瞬心，故有：3cos2Exl1sin2Eyl2cosBxl2222221(8sin1)4EEEvxylxyrxDE2xyDE2xyDE2xyDE2xymgmgG2sinBvlBBvr系统中各构件的动能分别为：2216ACTml222221114(8sin)2283CBEETmvJml222221126sin22BBBBTmvJml22217sin)3Tml(22222d(14sin)d7sin2d3TmlmlddcosdGEWmgytmgytmglt由dT=dW得：22cos7sin22(14sin)3gll初始时刻有：0,303325gl7－10如图所示，原长为l0，刚度系数为k的弹簧一端固定，另一端与质量为m的质点相连。初始时弹簧被拉长l0，并给质点一与弹簧轴线相垂直的速度v0。求弹簧恢复原长时，质点速度的大小及与弹簧轴线的夹角。设k=100N/m，l0=50cm，m=5kg，v0＝1m/s。质点在光滑的水平面内运动。解：由机械能守恒可得Vr1212121202022222mvklmvmvvr(sin)由于作用于质点上的力F对点O的力矩始终为0，故质点对点O的动量矩守恒，即：LmvlmvlO0002sin由此得：20vvsin代入能量守恒方程，可得：vkmlvr202023故：vvvmsr22224245sin./arccos().vvro54747-11一复摆绕O点转动如图示，O点离开其质心O’的距离为x，问当x为何值时，摆从水平位置无初速地转到铅垂位置时的角速度为最大？并求此最大角速度。解：假设复摆的转动惯量为O，那么在铅垂位置它的动能为22221mxmTO在水平位置的势能为mgxV根据机械能守恒定理，有mgxmxmO22221所以2222xgxO所以，当Ox时，可以取到最大值，此时Og7-13均质杆AC、BC各重W，长l，由理想铰链C铰接，在各杆中点连接一刚度系数为k的弹簧，置于光滑水平面上，在铅垂平面内运动如图示。设开始时，60＝，速度为零，弹簧未变形。求当30＝时C点的速度。设lWk)13/(。解：杆AC运动到任意位置时的动能为：2222ACooACIvmT，coslvCAC，cos22CACovlv则系统动能为：22222cos3cos1221cos222CCCmvlvlmvmT弹性势能：202coscos2lkWe重力做功：sinsin0mglW由WWTe，代入lWk)13/(，600＝，30＝得当30＝时C点的速度：lg79.0Cv。7-14半径为r的均质圆柱体，初始时静止在台边上，且0，受到小扰动后无滑地地滚下。求圆柱体离开水平台时的角度和这时的角速度。解：由机械能守恒可得：)cos1(21)(2122mgrJrmC其中：221mrJC圆柱体离开水平台时，由受力分析可得：2cosmrmg由以上两式可得：rgrg72cos74arccos7-15一柔软的均质链条，长为l，放在光滑的水平桌面上。开始时链条是直的和静止的，且下垂部分的长度为x0，求链条释放以后在还没有脱离桌面时的速度表达式，以图中下垂部分长度x表示。解：根据题意，设链条每单位长度的质量为m，由质系动能定理，200002/1))((2/1)(xmLxxxxmgxxmgx化简上式，20002/1)2/2/)((xLxxxxxg由上式解出)(202xxLgx7-19均质杆OA长l，质量为m，弹簧刚度系数为k，弹簧原长为l，系统由图示位置无初速释放，求杆运动至水平位置时，(1)杆OA的角速度；(2)铰O的约束力。解：（1）由机械能守恒可得：222)61(2121)61(2121lklmglkJz其中：231mlJz所以：lg3（2）由受力分析可得：X方向：mgkllmllkXO2361)2()67(2Y方向：212122mllYlmYmgOO解得：mgYO418-15图示均质圆盘A在板B上作纯滚动，板与水平面为光滑接触。圆盘中心安装一单摆C，绳长l，质量不计。若3ABCmmm，开始时系统无初速，0＝，求单摆自0位置无初速地运动至铅垂位置时单摆C的速度。解：系统水平方向动量守恒，且初始静止，故：0332211vmvmvm（1）由动能定理：0323322222121211cos12121212121glmvmvmrvvrmvm（2）令圆盘与板之间的摩擦力为F，则：对圆盘：Frdtdrm2121，积分得：tFdtvvm021121对板：tFdtvm022有上两式解得：213vv代入(1)(2)两式可得：03cos158glv