自动化原理第4章1

[e-mail]自动控制原理1研究内容：1.根轨迹的基本概念2.根轨迹的绘制方法3.运用闭环特征方程根的分布来估算系统的性能第一节根轨迹的基本概念第四章线性系统的根轨迹法为了避免直接求解高阶系统特征根的麻烦，1948年W.R.Evans提出了一种图解法——根轨迹法。特征方程的根运动模态系统动态响应（稳态性能、动态性能）[e-mail]自动控制原理222()2()()22()220CsKsRsssKDsssK例:绘制二阶系统的根轨迹Ks2112,1开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环极点的全部数值。根轨迹的定义:开环传递函数的某一个参数从零变化到无穷大时，闭环特征根在S平面上的轨迹称为根轨迹。r(t)c(t)-(0.51)KSS第一节根轨迹的基本概念[e-mail]自动控制原理3Ks2112,10KKs1s200-20.25-0.3-1.70.5-1-11-1+j-1-j2.5-1+j2-1-j2∞-1+j∞-1-j∞00K1221211K5.2KKj5.0K第一节根轨迹的基本概念[e-mail]自动控制原理4动态性能：由K值变化所对应的闭环极点分布来估计。0122121j稳定性：考察根轨迹是否进入右半S平面。根轨迹与系统性能稳态性能：开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为I型系统，根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许位置。0.5K21,21nnSjsarcco[e-mail]自动控制原理5根轨迹法:从闭环系统的开环传递函数着手，通过图解法来求闭环系统根轨迹的方法。设控制系统如图所示)()(1)()(sHsGsGs闭环极点与开环零、极点之间的关系开环传递函数R(s)C(S)-G(S)H(S)第一节根轨迹的基本概念[e-mail]自动控制原理61111(1)()()()(1)()mmiriiinnijjjKsKszGsHssssp11()()()miirnvjjzKKp不包括原点处的极点第一节根轨迹的基本概念rKK：开环传递函数增益：开环传递函数根增益[e-mail]自动控制原理711()()()1()()()1()mriinjjGsGssGsHsKszsp111()()()()njjnmjrijiGsspspKsz第一节根轨迹的基本概念开环传递函数闭环传递函数开环传递函数分母+开环传递函数分子[e-mail]自动控制原理8根轨迹法的任务：由已知的开环零点、极点和根轨迹增益Kr变化（0），用图解方法确定闭环极点。结论：闭环极点(特征根)与开环零点、开环极点、根轨迹增益均有关。11()()0nmjrijispKsz0)()(1sHsG第一节根轨迹的基本概念[e-mail]自动控制原理911()1()()01()mjjrniiszGsHsKsp由闭环传递函数)()(1)()(sHsGsGs0rK当求出相应的根，就可以在S平面上绘制出根轨迹。根轨迹方程根轨迹方程第一节根轨迹的基本概念[e-mail]自动控制原理10),2,1,0(,)12()()(11kkpszsniimjj111nriimjjKspsz11(21)11()1,1()mmjjjjjjkrrnniiiiszszKKeespsp根轨迹方程可以进一步表示为幅角条件（相角条件）幅值条件（模值条件）：第一节根轨迹的基本概念[e-mail]自动控制原理1111niirmjjspKsz模值条件:111mjjrniiszKsp如果没有开环零点:111rniiKsp1nriiKsp第一节根轨迹的基本概念[e-mail]自动控制原理12.112jsp1p2z1niimjjk11)12(表示由开环零、极点指向轨迹点的向量的方位角。,jijizsps开环零点：开环极点：11()()(21)mnjijiszspk第一节根轨迹的基本概念[e-mail]自动控制原理13第二节根轨迹绘制的基本法则rK常规根轨迹：可变参数为根轨迹增益11()()(21)mnjijiszspk相角条件：180o根轨迹法则1：根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹分支数：等于m和n的最大值根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连续变化。关于实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数或共轭复数。[e-mail]自动控制原理1410()0nriiiiKspsp法则2：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。111()()0()()0nmirjijGsHsspKsz简要证明：又从111()()0nmijijrspszK1()0mrjjjjKszsz第二节根轨迹绘制的基本法则[e-mail]自动控制原理15第二节根轨迹绘制的基本法则所以可以得出结论：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。若开环极点数n大于开环零点数m，起始于开环极点的n条根轨迹将会有m条终止于m个开环零点。另外n-m条根轨迹终止于哪里呢？（终止无穷远处）我们将会在法则4里找到答案。[e-mail]自动控制原理16法则3：实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。由相角条件jωσ××××11()()(21)mnjijiszspk4-2根轨迹绘制的基本法则[e-mail]自动控制原理17法则4时，则有（n-m)条根轨迹分支终止于无穷远处。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。第二节根轨迹绘制的基本法则设系统开环极点数n大于开环零点数m时，可以发现在S平面上的无穷远处，存在着满足根轨迹幅角条件的点。在s处，可以认为所有开环极点和开环零点引向点s的a向量的幅角都相等，并假定等于根据幅角条件有21,(0,1,2,)amnkk（）[e-mail]自动控制原理18(21)aknmmnzpnimjjia11与实轴夹角与实轴交点0*K0mnaaj第二节根轨迹绘制的基本法则幅角为的射线远端各点都满足幅角条件，如图4.5所示。这些射线的远端也称为系统的无限开环零点（当时）。这些射线就是根轨迹的渐近线。anm可以认为系统的(n-m)条根轨迹沿着(n-m)条渐近线趋于无限零点，渐近线与实轴的夹角为a[e-mail]自动控制原理192(1)()(4)(22)rKsGsssss例设单位反馈系统的前向传递函数为111,4,014321zjpjppp，（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴（1）（3）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线第二节根轨迹绘制的基本法则[e-mail]自动控制原理20601(21)180(21)180600411801akkkknmk67.114)1()1140(11jjmnzpnimjjia与实轴夹角与实轴交点第二节根轨迹绘制的基本法则[e-mail]自动控制原理210-4j-1.67-1-11第二节根轨迹绘制的基本法则[e-mail]自动控制原理22法则5：根轨迹分离点两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点称为分离点（或称会合点）。分离点的坐标d由下列方程所决定：1111nmijijdpdz分离角为：1,...,1,0/)12(lklk如果没有开环零点：110niidp第二节根轨迹绘制的基本法则[e-mail]自动控制原理23分离点1K1K01K01K分离点1K1K会合点01K01K会合点0j0j第二节根轨迹绘制的基本法则[e-mail]自动控制原理24ReIm0[]s211.414j1.414j6060180分离点110niidp111012ddd23620dd1110.4233d2111.5773d（舍去）()()(1)(2)rKGSHSSSS第二节根轨迹绘制的基本法则[e-mail]自动控制原理250)]()([dssHsGd分离点的另外一种求法：():()()()rNSGSHSKDS令:1()()0GSHS闭环特征方程()()0rDSKNS由于分离点为特征方程的重根：''()()0rDSKNS联立方程组，消去得：rK''()()()()0NSDSNSDS0)]()([dssHsGd为便于记忆，写为：0rdKds或：第二节根轨迹绘制的基本法则[e-mail]自动控制原理26ReIm0[]s211.414j1.414j6060180()()(1)(2)rKGSHSSSS[()()]dGsHsds22(362)0[(1)(2)]rKSSSSS解得：120.423,1.577SS第二节根轨迹绘制的基本法则dds1()()10(1)(2)(1)(2)0rrrKGSHSSSSKSSSK[e-mail]自动控制原理27(1)(2)(3)rKssss)(sR)(sC11z解（1）开环零点3,2,0321ppp例4.3绘制图示系统大致的根轨迹根轨迹分支数为3条，有两条趋向于无穷远处。（2）实轴上的根轨迹：]0,1[,]2,3[开环极点第二节根轨迹绘制的基本法则[e-mail]自动控制原理2890,1(21)1803190,0akkk（3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点(023)(1)231a1111123dddd10j2347.2（4）分离点1111(1)2.50.670.4123ddddd(2)2.47d第二节根轨迹绘制的基本法则用试探法获得[e-mail]自动控制原理29js*K法则6：根轨迹与虚轴的交点交点对应的根轨迹增益和角频率可以用劳斯判据或闭环特征方程（）确定。0)()(1jHjG0)]()(1Re[jHjG0)]()(1Im[jHjGjs将代入闭环特征方程，得：*K解出：第二节根轨迹绘制的基本法则[e-mail]自动控制原理30例4.4设单位负反馈控制系统开环传递函数：)4)(2()(sssKsGr试绘制该控制系统的根轨迹图。（1）根轨迹起始于开环极点1230,2,4ppp无有限开环零点，三条根轨迹均终止于无穷远处。（2）实轴上的根轨迹线段为[－2，0]，（∞，－4]。（3）根轨迹的渐近线：有3条渐近线，与实轴交点和夹角分别为：024232135,,3333aak第二节根轨迹绘制的基本法则[e-mail]自动控制原理31（4）根轨迹的分离点：由系