西安交大复变函数课件1-2复数的几何表示

第二节复数的几何表示一、复平面二、复球面三、小结与思考2一、复平面1.复平面的定义..,,,.),(面面叫复平这种用来表示复数的平轴叫虚轴或纵轴轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数yxyxiyxz.),(表示面上的点可以用复平复数yxiyxz),(yxxyxyoiyxz32.复数的模(或绝对值),的模或绝对值向量的长度称为z,表示可以用复平面上的向量复数OPiyxz.22yxrz记为xyxyoiyxzPr显然下列各式成立,zx,zy,yxz.22zzzz43.复数的辐角.Arg,,,0zzOPzz记作的辐角称为为终边的角的弧度数的向量以表示以正实轴为始边的情况下在说明,0有无穷多个辐角任何一个复数z,1是其中一个辐角如果).(π2Arg1为任意整数kkz,0,0,zz时当特殊地的全部辐角为那么z辐角不确定.5辐角主值的定义:.arg,Argππ,)0(000zzz记作的主值称为的把满足的辐角中在,0x)2arctan2(xy其中辐角的主值0zzarg,0,0yx,0,0yx.0,0yx,arctanxy,2π,πarctanxy,π64.利用平行四边形法求复数的和差xyo1z2z21zzxyo1z2z21zz2z两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.75.复数和差的模的性质;)1(2121zzzz.)2(2121zzzz,2121故之间的距离和表示点因为zzzz1z2z21zzxyo1z2z.实轴对称的复平面内的位置是关于在和一对共轭复数zzxyoiyxziyxz8利用直角坐标与极坐标的关系,sin,cosryrx复数可以表示成)sin(cosirz复数的三角表示式再利用欧拉公式,sincosiei复数可以表示成irez复数的指数表示式欧拉介绍6.复数的三角表示和指数表示9例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式:;5cos5sin)2(;212)1(iziz解zr)1(,4412,在第三象限因为zπ122arctan所以33arctan,65故三角表示式为,65sin65cos4iz10指数表示式为.465iez5cos5sin)2(iz52cos5sin,103cos52sin5cos,103sin故三角表示式为,103sin103cosiz指数表示式为.103iez11例2.,π0,sincos1的辐角的主值并求式三角表示式与指数表示化为把复数ziz解sincos1iz2cos2sin22sin22i2cos2sin2sin2i2πsin2πcos2sin2i.2sin22πie(三角式)(指数式).2πargz12例4.(2);(1):,,2121212121zzzzzzzzzz证明为两个任意复数设证21(1)zz)()(2121zzzz))((2121zzzz))((2211zzzz.21zz221(2)zz)()(2121zzzz))((2121zzzz21212211zzzzzzzz21212221zzzzzz13221zz2221zz)Re(221zz2122212zzzz2122212zzzz,)(221zz,)Re(2212121zzzzzz因为两边同时开方得.2121zzzz14例6.222111表示线用复数形式的方程来的直与将通过两点iyxziyxz解),(),(2211的直线的方程与通过两点yxyx)()(121121yytyyxxtxx),,(t参数所以它的复数形式的参数方程为)(121zztzz),,(t参数15,21的直线段的参数方程为到由故zz10)(121tzztzz,21t若取21的中点坐标为得线段zz.221zzz16例8求下列方程所表示的曲线:.4)Im()3(;22)2(;2)1(ziziziz解.22)1(的点的轨迹为距离表示所有与点方程iiz.2,的圆半径为即表示中心为i,iyxz设,2)1(iyx,2)1(22yx.4)1(22yx圆方程1722)2(ziz.22距离相等的点的轨迹和表示所有与点i.22段的垂直平分线的线和连接点故方程表示的曲线就是i,iyxz设,22yixiyix化简后得.xy4)Im()3(zi,iyxz设,)1(iyxzi,41)Im(yzi.3y所求曲线方程为18二、复球面1.南极、北极的定义,0的球面点取一个与复平面切于原z,与原点重合球面上一点S,NS点直线与球面相交于另一作垂直于复平面的通过.,为南极为北极我们称SNxyPNOS19球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.因而球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.2.复球面的定义203.扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.对于复数来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.21:的四则运算规定如下关于)(,:)1(加法)(,:)2(减法)0(,:)3(乘法)0(,0),(,,0:)4(除法22三、小结与思考学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的各种表示法.并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面.注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点．无穷远点与无穷大这个复数相对应,所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈．23思考题是否任意复数都有辐角?24思考题答案否.,0的情况特殊唯有z它的模为零而辐角不确定.放映结束，按Esc退出.