计算方法Chapter02-数值积分

1二数值积分2数值积分数值积分概述机械求积公式求积公式的代数精度牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）求积公式复化求积龙贝格（Romberg）求积高斯（Gauss）求积数值微分3数值积分概述设函数f(x)在积分区间[a,b]上连续，且F(x)=f(x)，理论上可以用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分：()d()()bafxxFbFa=然而在生产实践和科学研究中，极少直接用上述公式进行求积。原函数无法用简单的初等函数表示出来22sin1sind,d,ed,dlnbbbbxaaaaxxxxxxxx4数值积分概述（续）被积函数f(x)是以表格形式给出，无法得到它的原函数f(x)的原函数能用初等函数表示，但表达式过于复杂，利用牛顿-莱布尼兹公式直接求积不方便1010222232d44ln228xxxxaxbaxbxcxaxbxcaacbaxbaaxbxca=5机械求积0xyabxf(x)y=f(x)()d()()bafxxbafx=积分中值定理：f(x)在积分区间[a,b]上的平均高度未知6机械求积（续）()d()2baabfxxbaf中矩形公式：()4()2()d()6baabfaffbfxxba辛普森（Simpson）公式：()()()d()2bafafbfxxba梯形公式：()fx的近似值7机械求积（续）可以在积分区间[a,b]中选择若干个节点xi，用这些节点处的高度（函数值f(xi)）的加权平均值近似替代f(x)，从而构造出如下所示的求积公式：0()d()nbiiaifxxAfx=求积系数求积节点0011()d()()()()bnnafxxbakfxkfxkfx其中加权系数：011nkkk=更一般的形式：8机械求积（续）特点：求积系数Ai仅与节点xi和积分区间宽度有关，与被积函数f(x)的具体形式无关公式具有通用性避开了原函数的求解计算0()d()nbiiaifxxAfx=机械求积公式：9代数精度0()d()nbiiaifxxAfxR==余项代数精度的定义对于一切次数m的多项式均准确成立，而对于次数m的某个多项式不能准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。0()d()nbiiaifxxAfx=如果求积公式：10代数精度（续）考查梯形公式的代数精度()()()d()2bafafbfxxba零次多项式()()fxc=设常数d()bbaacxcxcba===左边()()2ccbacba==右边梯形公式对一切零次多项式均准确成立11代数精度（续）一次多项式()(,)fxcxdcd=设为常数222()()d()22bbbaaacxcbacxdxdxdba===左边22()()()21()()()2()22cadcbdbacbabacbaddba===右边梯形公式对一切一次多项式均准确成立12代数精度（续）二次多项式2()(,,)fxcxdxecde=设为常数3223322()d32()()()32bbbbaaaacxdxcxdxexexcbadbaeba===左边22222222()()()21()()()22()()()()22cadaecbdbebabacbadbaecbabadbaeba===右边不恒等130101()dbkkaaxaxaxx代数精度（续）如果机械求积公式对能准确成立，则它对一切k次代数多项式均准确成立。,0,1,,jxjk=机械求积公式对一切均准确成立，则有：,(0)jxjk0001100dddnbiiainbiiainbkkiiaixxAxxxAxxxAx======0101dddbbbkkaaaaxxaxxaxx=0101000nnnkiiiikiiiiiaAxaAxaAx====01010()nkiiikiiAaxaxax==14代数精度（续）10121()d(1)(0)(1)fxxAfAfAf已知，试确定系数A0,A1,A2，使得上式的代数精度尽可能高。解：分别设f(x)=1,x,x2，则有：01202022023AAAAAAA===三式联立解得：01213,43,13AAA===11()d[(1)4(0)(1)]3fxxfff则153()0fxx===取，则左边右边1441()d2523fxxxx====取，左边右边所以上述求积公式的代数精度为3代数精度的求法：考查f(x)=1,x,x2,x3…，依次验证求积公式是否成立，若第一个不成立的机械求积等式的f(x)是xm，则求积公式的代数精度为m1。11()d[(1)4(0)(1)]3fxxfff16代数精度（续）定理：对于任意给定的n1个互异的求积节点012...naxxxxb总存在系数A0,A1,...,An，使得求积公式0()d()nbiiaifxxAfx=的代数精度至少为n。17代数精度（续）0()d()nbiiaifxxAfx=对于()1,,,nfxxx=准确成立01202220011220111001122012211由得：由得：由得：nbianinbianninnnnnbnnnnianniAxAAAAbaxbaAxAxAxAxAxxbaAxAxAxAxAxnn=========证-1：若机械求积公式具有至少n次代数精度则182201330122012111111231nnnnnnnnnbabaAAxxxxbaAxxxxAban=代数精度（续）在求积节点给定的情况下，求积公式的构造本质上是个解线性方程组的代数问题。系数行列式为范德蒙行列式V，当求积节点互异时，V0,则求积系数Ak唯一存在。0()jiijnVxx=范德蒙行列式19()fx若是不高于n次的代数多项式，则(1)()0nfx=代数精度（续）证-2：若已知插值节点处的函数值，则可构造n次代数多项式：01,,,nxxx01(),(),fxfx,()nfx0()()()nniiiLxfxlx==()()()nfxLxRx=(1)()()(1)!nfxnx(1)0()d()d()d1()()d()()d(1)!bbbnaaanbbniiaaifxxLxxRxxfxlxxfxxnx===0=20插值型求积公式012...[,()]niiaxxxxbxfx设，根据可以构造n次Lagrange插值多项式：0()()()nniiiLxfxlx==去逼近f(x)。因此：00()d()d()()d()d()bbnaanbiiainbiiaiIfxxLxxfxlxxlxxfx=====0()d()nbiiaifxxAfx=插值型求积公式21插值型求积公式（续）给定n1个积分节点xi以及相应的函数值f(xi)，i=0,1,...,n。则求积公式：0()d()nbiiaifxxAfx=代数精度至少有n次求积公式为插值型证：必要性：以为插值节点的Lagrange插值基函数也是一个n次代数多项式，如求积公式的代数精度至少有n次，则：01...,,,nxxx(),0,1,,ilxin=0()d()nbijijajlxxAlx==10jiji==iA=22()fx若是不高于n次的代数多项式，则(1)()0nfx=充分性：若已知插值节点处的函数值，则可构造n次代数多项式：01,,,nxxx0(),fx,()nfx0()()()nniiiLxfxlx==()()()nfxLxRx=(1)()()(1)!nfxnx(1)0()d()d()d1()()d()()d(1)!bbbnaaanbbniiaaifxxLxxRxxfxlxxfxxnx===0=插值型求积公式（续）23插值型求积公式（续）例：已知某求积公式试问该机械求积公式是插值型的吗？4016(1)12(2)8(4)()d9ffffxx解：根据已知的三个求积节点进行Lagrange插值，则插值基函数为：0121,2,4xxx===20(2)(4)1()(68)(12)(14)3xxlxxx==21(1)(4)1()(54)(21)(24)2xxlxxx==22(1)(2)1()(32)(41)(42)6xxlxxx==244342000116416()d383168433339xlxxxxA====0201()(68)3lxxx=211()(54)2lxxx=221()(32)6lxxx=4016(1)12(2)8(4)()d9ffffxx43421011516454()d416442322323xlxxxxA====043422021316438()d216246326329xlxxxxA====0所以原机械求积公式是插值型的求积公式。25牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式如果将积分区间[a,b]分为n等分，其求积节点xi为：以上述n1个求积节点为插值节点，构建被积函数f(x)的n次拉格朗日插值多项式Ln(x)，则有：上式中，表示各等分小区间的宽度。bahn=,0,1,2,,ixaihin==26牛顿-柯特斯求积公式（续）()d()dbbnaafxxLxxCi柯特斯系数0()()dnbiiaifxlxx==0()()dnbiiaifxlxx==0()d()()bniaiilxxbafxba==27牛顿-柯特斯求积公式（续）()dbiailxxCba=xath=积分变量替换：0xatbaxbtnh=====0,njjjiijxxxx=ddxht=nhjxajh=bahn=00,1()d()nnijjiathajhChtnhaihajh==2800,(1)()d!()!ninnjjitjtnini==00,1()d()nnijjiathajhChtnhaihajh==000,0,11ddnnnnijjijjitjtjChttnhijnij====00,11111()d0(1)(1)nnjjitjtniiiiiin==00,11111()d!(1)(2)nnjjitjtniiiiiin==00,11111()d!12nnjjitjtnini==bahn=29牛顿-柯特斯求积公式（续）()11221416663311888832327127909090909019755050751928828828828828828821621641272722741840840840840840840840751357713232989298913233577751172801728017280172801728017280172801728098958882835012345678ninC928104964540104969285888989283