数值分析重点公式

第一章非线性方程和方程组的数值解法1）二分法的基本原理，误差：~12kbax2）迭代法收敛阶：1lim0ipiic，若1p则要求01c3）单点迭代收敛定理：定理一：若当,xab时，(),xab且'()1xl，,xab，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x满足：①,xab时，(),xab，②121212,,,()(),01xxabxxlxxl有则对任意初值0,xab迭代收敛，且：110111iiiiixxxllxxxl定理三：设()x在的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x在根的邻域内充分可导，则迭代格式1()iixx是P阶收敛的()()()0,1,,1,()0jPjP（Taylor展开证明）4）Newton迭代法：1'()()iiiifxxxfx，平方收敛5）Newton迭代法收敛定理：设()fx在有根区间,ab上有二阶导数，且满足：①：()()0fafb；②：'()0,,fxxab；③：'',,fxab不变号④：初值0,xab使得''()()0fxfx；则Newton迭代法收敛于根。6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiifxfxfxxxxxfxfxfxfxfxfxxx收敛阶：152P7）Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton法进行修改①：已知根的重数r，1'()()iiiifxxxrfx（平方收敛）②：未知根的重数：1''()(),()()()iiiiuxfxxxuxuxfx，为()fx的重根，则为()ux的单根。8）迭代加速收敛方法：2211211212()()iiiiiiiiiiixxxxxxxxxxx当不动点迭代函数()x在的某个邻域内具有二阶导数，'()1,0L平方收敛9）确定根的重数：当Newton迭代法收敛较慢时，表明方程有重根221121212112iiiiiiiiiiixxxxrxxxxxxx10）拟Newton法111111111111()()()()()(()())()iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxAFxAxxFxFxAHAAAAxxHFxHFxFxxxHHH若非奇异，则其中11112222'1212()iiiniiiininnniiinfffxxxfffxxxAFxfffxxx11）秩1拟Newton法：11111(),,()()()()()iiiiiiiiiiiTiiiiiiTixxAFxrxxyFxFxrAAyArrr其中Broyden秩1方法11()()()()iiiiiTiiiiiiiTiixxHFxrHHHrHyrHy第二章线性代数方程组数值解法1）向量范数：①：非负性：0x，且0x的充要条件是0x；②：齐次性：xx③：三角不等式：xyxy1范数：11niixx2范数：12221()niixx范数：1maxiinxxp范数：11()nppipixx2）矩阵范数：①：非负性：0A，且0A的充要条件是0A；②：齐次性：AA③：三角不等式：ABAB④：乘法不等式：ABABF范数：12211nnijFijAa1范数：111maxnijjniAa，列和最大范数：111maxnijinjAa，行和最大2范数：2()HAAA，其中1()maxHiinAA，i为HAA的特征值，()AA3）Gauss消元法（上三角阵）：313Mn；Gauss-Jordan消元法（对角阵）：312Mn；列选主元消元法：在消元之前进行行变换，将该列最大元素换置对角线主元位置；（可用于求逆矩阵）全选主元消元法：全矩阵搜索矩阵最大元素进行行变换和列变换至其处于对角线主元位置；4）三角分解法：①：Doolittle分解法：A=LU，L单位下三角阵，U上三角阵②：Crout分解法：A=LU，L下三角阵，U单位上三角阵③：Cholesky分解法：A对称正定，TALL，L为单位下三角阵④：改进的Cholesky分解法：A对称正定，TALDL，L为单位下三角阵，D为对角阵⑤：追赶法：Crout分解法解三对角方程5）矩阵的条件数1()1condAAA，谱条件数：1222()condAAA()1()ACondAxAAxCondAA6）如果1B，则IB为非奇异阵，且11()1IBB7）迭代法基本原理：①：迭代法：1iixBxK②：()1B(lim0iiB，迭代格式收敛)③：至少存在一种矩阵的从属范数，使1B8）Jacobi迭代：ALDU111()iixIDAxDb9）Gauss-Seidel迭代：111()()iixLDUxLDb10）超松弛迭代法11iiixxr11）二次函数的一维搜索：2111xxP12）最速下降法：选择方向0000()ZgradfxrbAx进行一维搜索：1000xxr，其中00000(,)(,)rrArr13）共轭梯度法：第一步：最速下降法，00Pr，11rbAx，01(,)0rr第二步：过1x选择0P的共轭方向110PrP，其中1000(,)(,)rAPPAP，过1x以1P为方向的共轭直线为11xxtP，进行二次函数的一维搜索211111111(,)(,)xxPrPAPP14）一般的共轭梯度法：第三章插值法与数值逼近1）Lagrange插值：0()()()nnjjjLxlxfx，1111'1111()()()()()()()()()()()()jjnnjjjjjjjnjnjxxxxxxxxPxlxxxxxxxxxxxPx余项：(1)1()()()(1)!nnfExPxn2）Newton插值：差商表0x0()fx1x1()fx01[]fxx2x2()fx02[]fxx012[]fxxx3x3()fx03[]fxx013[]fxxx0123[]fxxxx00100101010()()[]()[]()()[]()()nnnnfxfxfxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxx余项(1)0101()()[]()()()(1)!nnnnfExfxxxxxxxxPxn3）反插值4）Hermite插值（待定系数法）'210()[()()()()]nnjjjjjHxxfxxfx其中2'''1,1()()(),2(),12(),()njjjjjjjjjkkjjkxaxblxalxbxlxlxxx2()()()jjjxxxlx余项：(22)21()()()(22)!nnfExPxn5）分段线性插值：1111()()()jjjjjjjjjxxxxLxfxfxxxxx插值基函数：0110101011110,,(),(),0,nnnnnnnnxxxxxxxxxxlxlxxxxxxxxxxx111111,(),0,jjjjjjjjjjjxxxxxxxxxlxxxxxx余项：分段余项2(2)22,max()8MhMfx6）有理逼近：反差商表有理逼近函数式：000111122()()()()()nnnxxfxvxxxvxxxvxvx7）正交多项式的计算：定理：在[,]ab上带权函数()x的正交多项式序列0()nx，若最高项系数唯一，它便是唯一的，且由以下的递推公式确定11()nnnnnx1011(,)(,),,0,1(,)(,)nnnnnnnnnnx其中(,)()bijijaxdx定理3.88）连续函数的最佳平方逼近：在2{1,,,,}nSpanxxx上，法方程为nHad，其中1121(1)12131(2)1(1)1(2)1(21)nnnHnnn，10(,)()kkkdffxdx均方误差：22**21(,)(,)niiiffPffad最大误差：*01maxxfP9）离散函数的最佳平方逼近（曲线的最小二乘拟合）：法方程0(,)(,)njkjkjaf其中00(,)()()(,)()()mjkijikiimkiikiixxffxx第四章数值积分1）代数精度的概念及应用：对r次多项式的精确成立，以及代入法求解系数。2）Lagrange插值代入Lagrange插值基函数011011()()()()()()()()jjnjjjjjjjnxxxxxxxxlxxxxxxxx0()()nbjjajfxdxHfx，其中()bjjaHlxdx误差：(1)1()()()(1)!nbnafEfPxdxn定理：数值积分公式具至少有n次代数精度其是差值型的3）等距节点的Newton-Cotes公式将拉格朗日差值积分公式中的差值节点ixaih即可，其中bahn；00,(1)()!()!njnnjiijhHtidtjnj，令jjHCba（Cotes系数）则：0()()()njjjQfbaCfxN-C公式的数值稳定性：当jC同号时是稳定的，否则不稳定，0()njjbaC（其中0maxjjn）N-C公式至少具有n次代数精度，若n为偶数，则其代数精度可提高到n+1次；余项：当n为偶数时，(2)1()()()(2)!nbnafEfxPxdxn当n为奇数时，(1)1()()()(1)!nbnafEfPxdxn4）复化的N-C公式复化的梯形公式：将积分区间n等分，然后在每个区间上应用梯形公式111100()()()()()()2jjnnbxjjnnnaxjjfxfxIfxdxfxdxhEfTEf2''1()()()()122nhEfbaf复化的Simpson公式：将积分区间n等分，然后在每个区间上应用Simpson公式1111121100024()()()2()()()66663nnnjjjnjjjjjjfxfxfxhSfxfxfxh4(4)1()()()()1802nhEfbaf243nnnTTS5）Romberg积分法0212()()1()()()4()()2221411()2mmmmmmmmmThThhhTThTThT()mTh逼近()If的阶为2(1)mh0()Th0()2hT0()4hT0()8hT1()Th1()2hT1()4hT6）求积节点为n+1的机械求积公式的代数精度=2n+1；7）Gauss求积公式'0()()()()()()njjjjjfxxfxxfxEx(22)21()(