余弦定理教案

2011年课堂教学特色教案标题：余弦定理（第一课时）学科：高中数学作者：岳峻安徽省太和县太和中学邮政编码：236600手机号码：[phone]余弦定理安徽省太和县太和中学岳峻教学分析一、教学导图温故引新特例激疑类比探究理性演绎完善知识剖析升华例题示范迁移运用归纳小结反思拓展类比探究理性演绎余弦定理语言叙述变形作用二、教学目标1．通过实践与探究，会利用数量积证明余弦定理，提高数学语言的表达能力，体会向量工具在解决三角形的度量问题时的作用。2．会从方程的角度理解余弦定理的作用及适用范围，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。3．会结合三角函数利用计算器处理解斜三角形的近似计算问题。4．在方程思想指导下，提升处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。[来源:学科网]三、教学重难点教学重点：余弦定理的发现、证明过程及其基本应用。教学难点：理解余弦定理的作用及适用范围。突破关键：将余弦定理的三个公式视为三个方程组成的方程组。教学设计一、温故引新特例激疑1，正弦定理是三角形的边与角的等量关系。正弦定理的内容是什么？你能用文字语言、数学语言叙述吗？你能用哪些方法证明呢？正弦定理：在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等，即：2sinsinsinabcRABC，其中2R为三角形外接圆的直径。说明：正弦定理说明同一个三角形中，边与它所对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数2R，使2sin,2sin,2sinaRAbRBcRC。2，运用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？由,sinsinsinsinabbcABBC，可以解决“已知两角及其一边可以求其他边。”“已知两边及其一边的对角可以求其他角。”等解三角形问题。3，思考：如图，在ABC中，已知,,ABCcACbBACA，求a即BC。本题是“已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。”的解三角形的问题。本题能否用正弦定理求解？困难：因为角BC、未知,较难求a。cBbBbBaBbBBCA二、类比探究理性演绎（一）类比探究当一个三角形的两边和它们的夹角确定后，那么第三边也是确定不变的值，也就是说角A的对边随着角A的变化而变化。cBbBbBaBbBBCAcBbBbBaBbBBCAcBbBbBaBbBBCA当bc、一定，A变化时，a可以认为是A的函数，0,A。当2A时，222abc（勾股定理），为方便起见，考虑2a关于A的函数，记作2afA，即2222afbc。当A变化时，2a怎样变化？考虑两种极端情况：02AAA　　　　　　　　　　　　　　　　bBbBcBaBbBBCAcBbbBbaBbBBCAcBbbBbBBCA当A时，则22222abcbcbc;当0A时，则22222abcbcbc;我们比较三种情形的异、同点：当0A时，则22222221,abcbcbcbc;当2A时，2222220,abcbcbc当A时，则222222221.abcbcbcbcbc相同点:都含有22bc；不同点:2bc的系数不同；猜想：2bc的系数101、、与02A、、之间存在什么对应关系呢？2222cosabcbcA。那么就得到了当角A为三个特殊角时的公式：2222cosabcbcA，这个公式是不是满足任意三角形呢？凭感觉上述公式应该满足任意三角形，但是我们应该给出严格的证明。（二）理性演绎同学们来考虑，证明恒等式通常采用什么思考方法？cosbcA这样的结构我们在什么地方遇到过?ABCcab证明：22222cos2cosbcbcAACABACABA222222ACABACABACABBCa三、完善知识剖析升华（一）完善知识（1）余弦定理：在ABC中，,,ABcBCaACb，则：2222cosabcbcA；2222cosbacacB；（第一种形式）2222coscababC。（2）语言表述：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。（3）变形：222cos2bcaAbc；222cos2acbBac；（第二种形式）222cos2abcCab。（二）剖析升华（1）余弦定理与正弦定理一样，也是任何三角形边角之间存在的共同规律,余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.（2）等式2222cosabcbcA含有四个量abcA、、、，从方程的角度看，已知其中三个量，总可以求出第四个量。（3）根据已知量与未知量的性质可以知道，余弦定理可以解决有关三角形的哪些问题呢？利用余弦定理及推论可以解决以下两类三角形的问题：①已知三边求三角形的三个角；②已知两边及其夹角求三角形的其他边与角。这两种类型问题在有解时都只有一个解，把“边、边、边”和“边、角、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行刻画，使其变成了可计算的公式。（4）从余弦定理和余弦函数的性质可知：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；四、例题示范迁移运用（一）例题示范例1：ABC中，7,5,3abc，求这个三角形的最大角。解：∵abc，∴这个三角形的最大角是A。222cos2bcaAbc2225371.2532所以这个三角形的最大角是23A。引申：已知三角形三边长为abc、、，怎样判断ABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？例2：ABC中，23,62,4acB，求b及A。解：根据余弦定理可知：222222cos236222362cos41284326628bacacB∴22b；又222cos2bcaAbc2222262231.222262∴3A。思考：你可以用平面几何知识求解本题吗？分析：如图，在ABC，过C作CHAB于H，,234Ba，则6,6BHHC，在AHC中，2,6,22,3HAHCACbA。23aHBCA例3：如图所示，有两条直线AB和CD相交成080角，交点是O，甲、乙两人同时从点O分别沿OAOC、方向出发，速度分别是4/4.5/kmhkmh、，3时后两人相距多远(结果精确到0.1/kmh)？分析：经过3时，甲到达点,12POPkm，乙到达点,13.5QOQkm，问题转化为在OPQ中，己知012,13.5,80OPkmOQkmPOQ，求PQ的长。解：经过3时后，甲到达点,12POPkm，乙到达点,13.5QOQkm，依余弦定理，知：222202cos1213.521213.5cos8016.4PQOPOQOPOQPOQkm答：3时后两人相距约16.4km。例4：下图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数2,3,5,的图形。试计算图中线段BD的长度及DAB的大小(长度精确到0.1，角度精确到01)。解：在BCD中，01,1,135BCCDBCD，因为2222cosBDBCCDBCCDBCD22011211cos135222所以1.8.BD在ABD中，1,22,3.ABBDAD因为222cos2ABADBDDABABAD2213222130.1691.所以080.DAB思考：你还能用其他方法求线段BD的长度及DAB的大小吗？（二）、迁移运用1、在ABC中，coscosbAaB，则三角形为(C)A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．等边三角形2、在ABC中，4,3,3abC，则c。（13）3、在ABC中，已知sin:sin:sin1:2:3ABC，判断ABC的类型。（钝角三角形）4、平行四边形两条邻边的长分别是4643,cmcm和它们的夹角是45°,求这个平行四边形的两条对角线长与它的面积.（43cm和415cm，248cm）五、归纳小结反思拓展（一）归纳小结1、余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。能否用余弦定理证明勾股定理呢？2、余弦定理有两个基本应用：一是已知三边求三角,二是已知两边及他们的夹角求第三边。3、余弦定理和正弦定理是同一三角形的约束条件的不同表现形式，在本质上应该是一致的。（二）反思拓展1、余弦定理和正弦定理反映了同一三角形边、角之间的的度量关系,本质上时一致的.你能证明这两个定理时等价的吗?2、总结解三角形的方法：已知三角形边角中哪三个量，有唯一解或多解或无解？分别用什么方法？六、作业1、P51练习第1、2题；2、习题2--1A组第3、4题.七、资料延拓一、余弦定理的证明方法1、平面几何法如图，在ABC中，设,,BCaACbABc，另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时，222abc也符合上述结论。2、坐标法二、三角形中的射影定理的证明1、平面几何法如图，在ABC中，设,,BCaACbABc，则：coscoscADDBbAaB。2、向量法